分支界定( BRANCH-AND-BOUND)

分支定界法(branch and bound)是一种求解整数规划问题的最常用算法。这种方法不但可以求解纯整数规划,还可以求解混合整数规划问题。分支定界法是一种搜索与迭代的方法,选择不同的分支变量和子问题进行分支。

通常,把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集,称为分枝;并且对每个子集内的解集计算一个目标下界(对于最小值问题),这称为定界。在每次分枝后,凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝,这样,许多子集可不予考虑,这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。

分支定界法求解整数规划的一般步骤:

设有最大化的整数规划问题A ,与它相对应的松弛问题为 B。

1)先不考虑原问题的整数约束,求解相应的松弛问题。用图解法或单纯形法求得最优解,记为分枝定界法的一般步骤 。

2)若求得的最优解分枝定界法的一般步骤 刚好就是整数解,则该整数解就是原整数规划问题的最优解;否则,对原问题进行分枝寻求整数最优解。

3)分枝。根据对变量重要性的了解,在最优解中选择一个不符合整数约束条件的xj ,其值为bj ,以[bj]表示小于bj 的最大整数。构造两个约束条件: x≤ [bj]和 x≥[bj]+1分别加入原LP问题形成两个子问题,因为[bj] 与[bj]+1之间无整数,故这两个子集内的整数解必定与原可行解集合整数解一致,这一步称为分枝。

4)定界。首先判断各个子问题是否存在整数解。若存在,找出目标函数值最大对应的整数解,设为Z*,则A问题的整数解目标函数Z≥Z*,这就是定界。而且分枝过程中,一旦有某个子问题Z≥Z*,则令Z*Z。

5)若存在大于Z*的子问题则需分枝。第(4)步中若不存在整数解,也需继续分枝寻找整数解,并从目标函数值最大对应的子问题先分枝。

6)若所有子问题的目标值都小于等于Z*,则不需继续分枝,Z*所对应的整数解即为最优解。

分支定界法求背包问题:

 问题:一个容量为10的集装箱,有重量分别为4,8,5的货物,如何才能装最多:

 

FIFO算法:

1.首先定义best=0

2. 第一层,4被选择,此时的best修改成4,加入到队列中;0<best 计算0节点的最大期望,13>best,加入到队列中。

3.第二层,8被选择,12>10,截枝;4=best,加入到队列中;8>best, 加入到队列,修改best=8,0节点的最大期望小<best,截枝;

4.第三层,修改best即可。

paython代码:

 

import numpy as np

capacity = 10  # 背包的容量是10
goods = [4, 8, 5]  # 货物重量
best = 0  # 最优重量
expect = sum(goods)  # 期望值

queue = [0]  # 记录每层的节点
layer = 0  # 记录层数

while layer < np.size(goods)-1:
    # 取出该层的所有节点,作为下层的父节点
    expect = expect - goods[layer]  # 修改期望值
    parents = np.array(queue)
    nowParents = parents + goods[layer]
    temp_best = np.max(np.where(nowParents > capacity, 0, nowParents))

    # 更新best
    if best < temp_best:
        best = temp_best

    # 选择候选集, 截枝操作
    nowParents = np.hstack((nowParents, parents))
    temp_queue = []
    for i in nowParents:
        if i + expect > best:
            temp_queue.append(i)
    queue = temp_queue

    layer = layer + 1

# 最后一层,计算最优值
parents = np.array(queue)
nowParents = parents + goods[layer]

nowParents = np.hstack((nowParents, parents))
best = np.max(np.where(nowParents > capacity, 0, nowParents))

print(best)

参考:https://www.cnblogs.com/shixisheng/p/6034779.html

https://www.cnblogs.com/sage-blog/p/3917836.html

https://blog.csdn.net/zack_liu/article/details/78370537

posted @ 2018-08-18 21:56  萧凡客  阅读(10938)  评论(0编辑  收藏  举报