bzoj2005 能量采集 莫比乌斯或者普通容斥

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题目:bzoj2005 能量采集 
链接:https://vjudge.net/contest/178455#problem/F
题意:栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。

思路:
等价于求sigma(gcd(x,y)*2-1)  (1<=x<=n,1<=y<=m);

= sigma(gcd(x,y)*2)-n*m = 2*sigma(gcd(x,y)) - n*m = 2*sigma(k*gcd) - n*m;(k表示gcd出现的次数)

数据范围小的时候:
定义:
f(n)表示gcd(x,y)==n的对数。
F(n)表示n|gcd(x,y)的对数。  

因为F(n)包含了gcd是n的倍数的值。所以要把他们减掉。 f(n) = F(n)-f(2*n)-f(3*n)-..-f(k*n); (k*n<=min(n,m)) 后面的n,m是数据范围.

逆序处理即可,注意溢出!!!  


数据范围大的时候:
定义:
f(n)表示gcd(x,y)==n的对数。
F(n)表示n|gcd(x,y)的对数。

枚举gcd==p,1<=p<=min(n,m);

f(p) = sigma(mu[d/p]*F(d)) (p|d) 
    
F(d) = (n/d)*(m/d);   

f(p)表示gcd(x,y)==p的对数。x在[1,n],y在[1,m];等价于:求f(1)表示gcd(x,y)==1的对数。x在[1,n/p],y在[1,m/p]; 用除法的取值,预处理莫比乌斯前缀和。

N*sqrt(N)复杂度。





*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
typedef pair<int, int> P;
const LL INF = 1e10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5 + 100;
LL f[maxn], g[maxn];
/*
int prime[maxn], tot, not_prime[maxn];
int mu[maxn], sum[maxn];
void init()
{
    mu[1] = 1;
    tot = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; prime[j]*i<maxn; j++){
            not_prime[prime[j]*i] = 1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[prime[j]*i] = 0;
                break;
            }
            mu[prime[j]*i] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i = 1; i < maxn; i++) sum[i] = sum[i-1]+mu[i];
}
LL solve(int n,int m)///x在[1,n], y在[1,m] gcd(x,y)=1的对数。
{
    LL ans = 0;
    int last;
    for(int i = 1; i <= n; i=last+1){
        last = min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans += (LL)(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}*/
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    int n, m;
    //init();
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        if(n>m) swap(n,m);
        LL ans = 0;
        for(int i = n; i >= 1; i--){
            g[i] = (LL)(n/i)*(m/i);
            for(int j = i*2; j <= n; j+=i){
                g[i] -= f[j];
            }
            f[i] = g[i];
            ans += i*f[i];
        }

        printf("%lld\n",ans*2-(LL)n*m);///溢出了啊。
    }
    return 0;
}

 

posted on 2017-08-15 10:19  hnust_accqx  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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