青蛙的约会 扩展欧几里得 方程ax+by=c的整数解 一个跑道长为周长为L米，两只青蛙初始位置为x,y；（x!=y，同时逆时针运动，每一次运动分别为m,n米；问第几次运动后相遇，即在同一位置。

/**
题目：青蛙的约会
链接：https://vjudge.net/contest/154246#problem/R
题意：一个跑道长为周长为L米，两只青蛙初始位置为x,y；（x!=y，同时逆时针运动，每一次运动分别为m,n米；问第几次运动后相遇，即在同一位置。
如果永远无法相遇输出Impossible。
思路：
设：次数为t；
圈总长为: L
A位置：(x+m*t)%L;
B位置: (y+n*t)%L;

如果:  (x+m*t)%L = (y+n*t)%L 存在碰面； 暴力枚举t。太大了；

保证m,n<L; m%=L; n%=L; 又x!=y;

=> (x+m*t - (y+n*t)) %L = 0;
设:x+m*t-y-n*t = L*k; (k为整数)；

=>（x-y)+(m-n)*t = L*k;

L*k-(m-n)*t = (x-y); 未知数(k, t);

换位置：(m-n)*t - L*k = (y-x)

令:ax+by = c;

a = m-n;
b = -L;
c = y-x;

然后根据：
方程ax+by=c的整数解(a,b,c为整数）
令g=gcd(a,b), 很明显,c不是g的倍数时方程无解。如果c等于g，用扩展欧几里德算法求得一组解(x0,y0). 如果c是g的倍数，则相应的一组解(x0*c/g,y0*c/g).
若方程存在解(x1,y1)，则通解形式为(x1+k*b/g, y1-k*a/g), k为任意整数


*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5+10;
const double eps = 1e-6;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll ext_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll ret, tmp;
    if(!b){
        x = 1, y = 0; return a;
    }
    ret = ext_gcd(b,a%b,x,y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp-a/b*y;
    return ret;
}
int main()
{
    ll x, y, m, n, L;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
    {
        ll a, b, c;
        a = m-n;
        b = -L;
        c = y-x;
        if(c%gcd(a,b)!=0){
           printf("Impossible\n"); continue;
        }
        ll xx, yy;
        ll d = ext_gcd(a,b,xx,yy);
        ll add = b/d;
        ll t = xx*c/d;
        if(add<0) add = -add;
        t %= add;
        if(t<=0) t+=add;
        printf("%lld\n",t);
    }
    return 0;
}




下面这一份是自己最开始写的方法。很繁琐。

 

/**
题目：青蛙的约会 
链接：https://vjudge.net/contest/154246#problem/R
题意：一个跑道长为周长为L米，两只青蛙初始位置为x,y；（x!=y，同时逆时针运动，每一次运动分别为m,n米；问第几次运动后相遇，即在同一位置。
如果永远无法相遇输出Impossible。
思路：
设：次数为t；
圈总长为: L
A位置：(x+m*t)%L;
B位置: (y+n*t)%L;

如果:  (x+m*t)%L = (y+n*t)%L 存在碰面； 暴力枚举t。太大了；

保证m,n<L; m%=L; n%=L; 又x!=y; 

=> (x+m*t - (y+n*t)) %L = 0;
设:x+m*t-y-n*t = L*k; (k为整数)；

=>（x-y)+(m-n)*t = L*k;

L*k-(m-n)*t = (x-y); 未知数(k, t);

令:ax+by = c;

a = L;
b = -(m-n);
c = (x-y);

为了保证c为正数，所以要处理一下符号关系。暂且当做已经处理过。

把负号都放入未知数中。那么要判断是否这样处理过，如果处理过，那么得出来的K,t要取反。

题目应该是求最小的满足的解t>=1；


然后根据：
方程ax+by=c的整数解(a,b,c为整数）
令g=gcd(a,b), 很明显,c不是g的倍数时方程无解。如果c等于g，用扩展欧几里德算法求得一组解(x0,y0). 如果c是g的倍数，则相应的一组解(x0*c/g,y0*c/g). 
若方程存在解(x1,y1)，则通解形式为(x1+k*b/g, y1-k*a/g), k为任意整数 


*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5+10;
const double eps = 1e-6;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll ext_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll ret, tmp;
    if(!b){
        x = 1, y = 0; return a;
    }
    ret = ext_gcd(b,a%b,x,y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp-a/b*y;
    return ret;
}
int main()
{
    ll x, y, m, n, L;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
    {
        int flag = 0;///flag==0表示正数，否则表示负数；
        ll a, b, c;
        a = L;
        b = m>n?(m-n):(n-m);
        c = x>y?(x-y):(y-x);
        if(m-n==0){
            printf("Impossible\n"); continue;
        }
        if(x>y){
            if(m>n) flag = 1;
        }else
        {
            if(m<n) flag = 1;
        }
        if(c%gcd(a,b)!=0){
           printf("Impossible\n"); continue;
        }
        ll xx, yy;
        ll d = ext_gcd(a,b,xx,yy);
        ll ans = inf;
        ll add = -a/d;//<0
        ll t = yy*c/d;
        if(flag){///t应该为负数，取反才为正数。
            if(t>=0){
                t %= (-add);
                while(t>=0){
                    t += add;
                }
                ans = -t;
            }else
            {
                t = (-t)%(-add);
                t = -t;
               if(t==0){
                    ans = -add;
                }
                while(t<0){
                    ans = -t;
                    t -= add;
                }
            }
        }else
        {///t应该为正数。
            if(t>0){
                t %= (-add);
                while(t>0){
                    ans = t;
                    t += add;
                }
            }else
            {
                t = (-t)%(-add);
                t = -t;
                while(t<=0){
                    t -= add;
                }
                ans = t;
            }
        }
        if(ans==inf){
            printf("Impossible\n"); continue;
        }else
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}