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树的直径

浅总结一下树的直径。

题目描述

我们将一棵树 T=(V,E) 的直径定义为 max(u,v) (u,v∈V)，也就是说，树中所有最短路径距离的最大值即为树的直径。

给定一棵树，树有 N 个结点、N−1 条边，请你求出该树的直径。

输入格式

第一行输入一个整数 N（2≤N≤50000），表示树的结点数量。

接下来有 N−1 行，每行有三个整数 U，V，W，表示结点 U 和节点 V 连有一条边，边的权值为 W 。其中 1≤U,V≤N；1≤W≤100。

输出格式

输出一个整数，即树的直径。

样例

输入数据 1

8
1 2 2
1 3 1
1 4 2
2 5 1
2 6 2
6 7 1
6 8 3

输出数据 1

9

求树的直径，有两种方法：

  • 第一种方法，是用两次DFS；
  • 第二种方法，是用树型DP。

如果边权是正的，只求直径，则两种方法都可以使用；

如果边权是正的，既要求直径，又要求输出路径，则只能用两次DFS的方法。

如果边权是负的，求直径，只能用树型DP的方法（见下面说明）；

关于边是负权求直径的说明：

如果边有负权，用两次 DFS 求树直径的方法是要出错的，因为如果搜索起点的选择不同，那么得到的直径也会不同。

比如：特殊样例如下：

image

如果以1为起点会先搜索到 5，然后 5 到 3（或4）的路径长度即为树的直径，此时求得的直径长度为 1；

但是如果我们以 2 为起点开始搜索，会先搜索到 3 （或4），然后到 3 到 4（或4到3）的路径长度即为树的直径，此时求得的直径长度为 4 。

所以边有负权值的情况下建议不用两次 DFS 求直径的方式，而是用 DP 方法求树的直径

【求树的直径-模板1-两次DFS实现-不含路径-参考代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50005,M=50005*2;
int n,m,t,p,ed;
int d[N],First[N],to[M],w[M],Next[M];

void add(int x,int y,int z) //邻接表 
{
    Next[++t]=First[x];
    First[x]=t;
    to[t]=y;
    w[t]=z;
}


void dfs1(int u,int father)          //从x出发，向下走（父结点是father） 
{
    if(d[u]>d[p]) p=u;               //更新从起点1能走到的最远点p
    for(int i=First[u];i;i=Next[i])  //枚举从u出发的所有边i 
    {
        int v=to[i];                 //v是边i另外一个端点 
        if(v==father) continue;      //不能往回走（即：不能回到父节点）
        d[v]=d[u]+w[i];              //起点1到v的距离       
        dfs1(v,u);                   //从v出发向下走 
    }
}

void dfs2(int u,int father)             //从u出发，向下走（父结点是father） 
{
    if(d[u]>d[ed]) ed=u;                //更新从起点p能走到的最远点ed  
    for(int i=First[u];i;i=Next[i])     //枚举从u出发的所有边i 
    {
        int v=to[i];                    //v是边i另外一个端点 
        if(v==father) continue;         //不能往回走（即：不能回到父节点）
        d[v]=d[u]+w[i];                 //起点p到v的距离              
        dfs2(v,u);                      //从v出发向下走 
    }
}

int main()
{
    //freopen("diameter.in","r",stdin);
    //freopen("diameter.out","w",stdout);
         
    int x,y,z;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dfs1(1,0);                       //第一次dfs，找到从结点1能到的最远结点p 
    memset(d,0,sizeof(d));    
    dfs2(p,0);                       //第二次dfs，找到从结点p能到的最远结点ed，则p->ed就是直径 
    printf("%d\n",d[ed]);
    return 0;
}

【求树的直径-模板1-两次DFS实现-输出路径-参考代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50005,M=50005*2;
int n,m,t,p,ed;
int d[N],First[N],to[M],w[M],Next[M],step[N];  //step[]存储路径 

void add(int x,int y,int z)//邻接表 
{
    Next[++t]=First[x];
    First[x]=t;
    to[t]=y;
    w[t]=z;
}


void dfs1(int u,int father)          //从u出发，向下走（父结点是father） 
{
    if(d[u]>d[p]) p=u;               //更新从起点1能走到的最远点p
    for(int i=First[u];i;i=Next[i])  //枚举从u出发的所有边i 
    {
        int v=to[i];                 //v是边i另外一个端点 
        if(v==father) continue;      //不能往回走（即：不能回到父节点）
        d[v]=d[u]+w[i];              //起点1到v的距离       
        dfs1(v,u);                   //从v出发向下走 
    }
}

void dfs2(int u,int father)             //从u出发，向下走（父结点是father） 
{
    if(d[u]>d[ed]) ed=u;                //更新从起点p能走到的最远点ed  
    for(int i=First[u];i;i=Next[i])     //枚举从u出发的所有边i 
    {
        int v=to[i];                    //v是边i另外一个端点 
        if(v==father) continue;         //不能往回走（即：不能回到父节点）
        step[v]=u;
        d[v]=d[u]+w[i];                 //起点到v的距离              
        dfs2(v,u);                      //从v出发向下走 
    }
}

void PrintPath()                        //输出直径的路径 
{
    int now=ed;
    stack<int>stk;
    do                                  //倒着入栈 
    {
        stk.push(step[now]);
        now=step[now];
    }while(now!=p);
    
    while(stk.size())                   //出栈，输出路径 
    {
        cout<<stk.top()<<"->";
        stk.pop();
    }
    cout<<ed<<endl;
}

int main()
{
    freopen("diameter.in","r",stdin);
    freopen("diameter.out","w",stdout);
         
    int x,y,z;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }

    dfs1(1,0);                       //第一次dfs，找到从结点1能到的最远结点p 
    memset(d,0,sizeof(d));    
    dfs2(p,0);                       //第二次dfs，找到从结点p能到的最远结点ed，则p->ed就是直径 

    printf("%d\n",d[ed]);
    PrintPath();                     //输出路径 
    return 0;
}

【求树的直径-模板2-树型DP实现-参考代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50005,M=50005;
int n,m,t,ans;
int f1[N],f2[N];
int h[N],to[M*2],w[M*2],Next[M*2];

void add(int x,int y,int z) //邻接表存储 
{
    Next[++t]=h[x];
    h[x]=t;
    to[t]=y;
    w[t]=z;
}

void dp(int u,int father)            //树型DP（从结点u出发，其父结点为father） 
{
    for(int i=h[u];i;i=Next[i])  //枚举从u出发的所有边i 
    {
        int v=to[i];                //to是u的子结点 
        if(v==father) continue;     //如果往回枚举到u的父结点，放弃 
        dp(v,u);                    //从to继续向下走 
        if(f1[u]<f1[v]+w[i])        //如果起点到u的最大距离能被to更新 
        {
            f2[u]=f1[u];             //把起点到u的次大距离更新为当前的最大距离 
            f1[u]=f1[v]+w[i];        //更新起点到u的最大距离 
        }
        else if(f2[u]<f1[v]+w[i])    //如果起点到u的最大距离不能被to更新
                f2[u]=f1[v]+w[i];    //更新起点到u的次大距离 
        ans=max(ans,f1[u]+f2[u]);    //更新直径 
    }
}

int main()
{
    //freopen("diameter.in","r",stdin);
    //freopen("diameter.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    int x,y,z;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dp(1,0);                          //树型DP入口（从结点1出发，其父结点为0） 
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

自己的代码--Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,tot,root,num;
int fi[N],ne[N],to[N],w[N];

void add(int x,int y, int z)
{
    ne[++tot]=fi[x];
    fi[x]=tot;
    to[tot]=y;
    w[tot]=z;
}

void dfs(int x,int y,int z)
{
    for(int i=fi[x];i;i=ne[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==y) continue;
        if(num<z+w[i])
        {
            root=v;
            num=z+w[i];
        }
        dfs(v,x,z+w[i]);
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c),add(b,a,c);
    }
    dfs(1,0,0);
    num=0;
    dfs(root,0,0);
    cout<<num<<'\n';
}

 

posted @ 2022-10-18 21:42  光暗之影x  阅读(17)  评论(0)    收藏  举报