[UOJ#275]【清华集训2016】组合数问题
[UOJ#275]【清华集训2016】组合数问题
试题描述
组合数 \(C_n^m\) 表示的是从 \(n\) 个物品中选出 \(m\) 个物品的方案数。举个例子，从 \((1,2,3)\) 三个物品中选择两个物品可以有 \((1,2),(1,3),(2,3)\) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 \(C_n^m\) 的一般公式：
\begin{equation}
C_n^m=\frac{n!}{m!(n−m)!}
\notag
\end{equation}
其中 \(n!=1 \times 2 \times \cdots \times n\)。（额外的，当 \(n=0\) 时， \(n!=1\)）
小葱想知道如果给定 \(n,m\) 和 \(k\)，对于所有的 \(0 \le i \le n,0 \le j \le min(i,m)\) 有多少对 \((i,j)\) 满足 \(C_i^j\) 是 \(k\) 的倍数。
答案对 \(10^9+7\) 取模。
输入
第一行有两个整数 \(t,k\)，其中 \(t\) 代表该测试点总共有多少组测试数据。
接下来 \(t\) 行每行两个整数 \(n,m\)。
输出
\(t\) 行，每行一个整数代表所有的 \(0 \le i \le n,0 \le j \le min(i,m)\) 中有多少对 \((i,j)\) 满足 \(C_i^j\) 是 \(k\) 的倍数。
输入示例1
1 2
3 3
输出示例1
1
输入示例2
2 5
4 5
6 7
输出示例2
0
7
输入示例3
3 23
23333333 23333333
233333333 233333333
2333333333 2333333333
输出示例3
851883128
959557926
680723120
数据规模及约定
对于 \(20\texttt{%}\) 的测试点，\(1 \le n,m \le 100\)；
对于另外 \(15\texttt{%}\) 的测试点，\(n \le m\)；
对于另外 \(15\texttt{%}\) 的测试点，\(k=2\)；
对于另外 \(15\texttt{%}\) 的测试点， \(m \le 10\)；
对于 \(100\texttt{%}\) 的测试点， \(1 \le n,m \le 10^{18},1 \le t,k \le 100\)，且 \(k\) 是一个质数。
题解
千万不要忘了 \(k\) 是一个质数！！！
这题用 Lucas 定理，即 \(C_n^m\ mod\ p = C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p} \cdot C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\ mod\ p\)，那么就不难想到把 \(n\) 和 \(m\) 变成 \(k\) 进制数然后数位 dp 了。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
#define dwn(i, s, t) for(int i = (t); i >= (s); i--)
LL read() {
LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 61
#define maxk 102
#define MOD 1000000007
int T, K, C[maxk][maxk];
struct Num {
LL val;
int num[maxn], cntn;
Num() {}
Num(LL _): val(_) {
memset(num, 0, sizeof(num));
cntn = 0;
LL x = val;
while(x) num[cntn++] = x % K, x /= K;
// for(int i = 0; i < (cntn >> 1); i++) swap(num[i], num[cntn-i-1]);
}
} N, M;
int f[maxn][2][2][2][2];
void add(int& a, int b) {
a += b;
if(a >= MOD) a -= MOD;
return ;
}
void dp() {
/* _a: whether a equals N.val right now
* _b: whether b equals M.val right now
* _lab: whether a equals b before
* _zero: whether the result(mod K) is already zero
*/
rep(n, 0, N.cntn - 1)
rep(_a, 0, 1) rep(_b, 0, 1) rep(_ab, 0, 1) rep(_zero, 0, 1)
rep(a, 0, _a ? N.num[n] : K - 1) rep(b, 0, min(_b ? M.num[n] : K - 1, _ab ? a : K - 1))
if(!n) add(f[n][_a][_b][_ab][_zero], _zero | !C[a][b]);
else add(f[n][_a][_b][_ab][_zero], f[n-1][_a&a==N.num[n]][_b&b==M.num[n]][_ab&a==b][_zero|!C[a][b]]);
return ;
}
int main() {
T = read(); K = read();
for(int i = 0; i < K; i++) {
C[i][0] = C[i][i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j++) {
C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
if(C[i][j] >= K) C[i][j] -= K;
}
}
while(T--) {
N = Num(read());
M = Num(min(read(), N.val));
memset(f, 0, sizeof(f));
dp();
printf("%d\n", f[N.cntn-1][1][1][1][0]);
}
return 0;
}
