7.3 CWOI 考试 T1 T2 T3

T1 a

观察大样例发现 \(n = 1\) 与 \(n = 3\) 时相等，猜测 \(n = 2k + 1\) 的答案均相等且 \(n = 2k\) 的答案均相等。

打个暴力拍，发现是对的，所以答案就是 \(n \bmod 2 = 1\) 时进行一次操作，\(n \bmod 2 = 0\) 时进行两次操作的原数组。

T2 b

原题 ABC176F

分讨 DP。

最优化问题，考虑 DP。为什么不是贪心？因为不知道怎么贪。

我们设 \(dp _ {i,x,y}\) 表示前面剩下的为 \(x\) 和 \(y\)，考虑 \(a _ {i},a _ {i + 1},a _ {i + 2}\) 的最大答案。可以滚动数组掉第一维。

我们把前两个数单独拿出来，拿去初始化 \(dp\)，然后最后会剩下一个直接特判。

然后考虑转移，分两种情况：加分和不加分。以下，\(p = a _ i,q = a _ {i + 1},r = a _ {i + 2}\)

先说加分：

• \(p = q = r\)：显然直接取这三个，\(dp _ {i,x,y} = dp _ {i - 1,x,y} + 1\)。
• \(p = q \vee q = r \vee p = r\)，以下设 \(p = q\)：有两种加分情况：\(x,p,q\)，\(x,x,r\)，第一种枚举 \(y\)，然后 \(dp _ {i,p,y} + 1 \to dp _ {i + 1,r,y}\)；第二种没什么说的，\(dp _ {i,r,r} + 1 \to dp _ {i + 1,p,p}\)。
• \(p \neq q \neq r\)：三个都可以作为删除的，设 \(r\) 是这个，然后 \(dp _ {i,r,r} + 1 \to dp _ {i + 1,p,q}\)

然后是删除的策略：

• 三个都丢弃：不改变，因为我们用的是滚动数组。
• 丢弃任意两个：我们可以枚举 \(x,y\) 来更新，但是这是 \(\Omicron(n ^ 2)\) 的，更好的方法是记录 \(x\)的最大的 \(dp\) 值，只转移这个，\(y\) 同理，可以做到 \(\Omicron(n)\)
• 丢弃任意一个：转移到 \(dp _ {p,q}\)，值是整个 \(dp\) 数组的最大值。

我们可以用一个 vector 来记录需要更新的位置与值，只更新需要更新的，这样就可以做到 \(\Omicron(n ^ 2)\)。

T3 c

原题 CF407D。

抽象 DP + 双指针

发现 \(n \le 400\)，所以我们考虑一个 \(\Omicron(n ^ 3)\) 的 DP。

我们设 \(dp _ {l,r,b}\) 表示左边界为 \(l\)，右边界为 \(r\)，下边界为 \(b\) 的最小的上边界，实现中可以记为上下边界的距离。如果一个 \([l,r]\) 不合法，那要么是 \([l + 1,r]\) 不合法，要么 \([l,r - 1]\) 不合法，要么就是两列合在一起不合法。因此 \(dp _ {l,r,b} = \min \{ dp _ {l + 1,r,b},dp _ {l,r - 1,b},f _ {l,r,b} \}\)，后面那个 \(f\) 表示仅考虑 \(l,r\) 两列的 \(b\) 的最小上边界，可以枚举 \(b\) 然后双指针 \(t\) 求出。