CWOI 6.28 考试题解 ABC

A 致敬传奇捆绑测试题目

打表题。

先打出最小的排列，发现是 \(\begin{cases} [1],n = 1 \\ [2,1],n = 2 \\ [3,1,2,\ldots,n],\text{Otherwise} \end{cases}\)。

然后再去打答案表，发现排除前 \(3\) 个特判之后，剩下的以 \(8\) 为一个周期，并且有如下规律：

\[\text{let } x = 2(8\lfloor \frac{n - 1}{8} \rfloor + 1) + 8 \\ Ans = \begin{cases} x,n \bmod 8 = 1 \vee n \bmod 8 = 2\\ 6,n \bmod 8 = 3 \\ 4,n \bmod 8 = 4 \\ x + 12,n \bmod 8 = 5 \vee n \bmod 8 = 6 \\ 2,n \bmod 8 = 7 \\ 0,n \bmod 8 = 0 \end{cases} \]

做完了。

B 串串

赛时想到了 \(\frac{1}{4}\) (?)

因为字符集不大，所以考虑枚举最大最小的字母分别是什么。

我们给现在钦定的最大字符赋值为 \(1\)，最小字符赋值为 \(-1\)，然后求最大子段和。

但是这么做是 \(\Omicron(n|\Sigma| ^ 2)\) 的，考虑优化，我们直接记录每个字母的位置，然后归并起来，在归并过程中计算贡献。

需要注意，最小值必须出现，所以可以直接将 \(dp\) 初始值设为 \(-1\)。

C 计算几何

首先有个关键的性质：

设 \(L _ i = \max j,j \lt i \wedge h _ j \le h _ i,R _ i = \min j,j \gt i \wedge h _ j \le h _ i\)，则选取的点对一定是 \((L _ i,i)\) 或 \((i,R _ i)\)。

写一下证明：

考虑反证法，设最优决策是 \((i,j)\)，且 \(i \neq L _ j \wedge j \neq R _ i\)。

若 \(h _ i \le h _ j\)，则有 \(L _ j \gt i\)，即 \(w _ j - w _ {L _ j} \lt w _ j - w _ i\)，并且有 \(h _ i + h _ {L _ j} \le h _ i + h _ j\)，所以一定不如 \(L _ j\) 优。

\(h _ i \gt h _ j\) 类似。

然后转化一下题意：有 \(2n\) 个点 \((x,y)(x \lt y)\)，每个点有权值 \(v(x,y) = (w _ y - w _ x)(h _ x + h _ y)\)，一个询问即是求 \(\min \limits _ {l \le x \lt y \le r} v(x,y)\)。

典中典二维数点，要求单 \(\log\) 直接扫描线，树状数组维护后缀 \(\min\)，对于修改操作，把 \(x\) 挂到 \(y\) 上，遇到就在 \(x\) 位置更新 \(v\)，询问把 \((l,id)\) 挂到 \(r\) 上，遇到一个就查询 \(l\) 的后缀 \(\min\)。