6.17 CWOI 考试题解

A 跳跃

首先定义 \(T _ 0 = k,T _ {n + 1} = m,B _ 0 = B _ {n + 1} = 0\)。

很显然这是个 DP。因为往回走之后再往前走一定不优，所以满足无后效性。

然后考虑暴力，钦定第 \(i\) 个胡萝卜被吃，枚举上一个从哪里来，设为 \(j\)，因为中间的钦定不吃，所以我们可以前面全部走 \(D\)，最后再补齐，因此代价是 \(A \lceil \frac{T _ i - T _ j}{D} \rceil\)。因此就有转移方程 \(dp _ i = \max \{ dp _ j + B _ i - A \lceil \frac{T _ i - T _ j}{D} \rceil \}\)。

然后考虑优化，发现不搞掉那个向上取整啥优化都用不了，所以考虑拆掉它，然后就开始推式子：

\[\begin{aligned} \lceil \frac{T _ i - T _ j}{D} \rceil &= \lceil \frac{T _ i}{D} - \frac{T _ j}{D} \rceil \\ &= \lceil \lfloor \frac{T _ i}{D} \rfloor - \lfloor \frac{T _ j}{D} \rfloor + \frac{T _ i \bmod D}{D} - \frac{T _ j \bmod D}{D} \rceil \end{aligned} \\ \]

设 \(A = \frac{T _ i \bmod D}{D} - \frac{T _ j \bmod D}{D}\)，则 \(A \in (-1,1)\)，接着分情况讨论：

• 若 \(A \gt 0\)，则对原式的贡献为 \(1\)
• 若 \(A = 0\)，则贡献显然为 \(0\)
• 若 \(A \lt 0\)，则因为向上取整贡献为 \(0\)

因此，原式等于 \(\lfloor \frac{T _ i}{D} \rfloor - \lfloor \frac{T _ j}{D} \rfloor + [T _ i \bmod D \gt T _ j \bmod D]\)。

然后转移方程就可以拆了，转化为 \(dp _ i = B _ i - A\lfloor \frac{T _ i}{D} \rfloor + \max \{ dp _ j + A \lfloor \frac{T_ j}{D} \rfloor - A[T _ i \bmod D \gt T _ j \bmod D] \}\)。前面的直接放到线段树上，每次算完 \(dp _ i\) 之后尝试更新 \(T _ i \bmod D\) 处为 \(dp _ i + A \lfloor \frac{T _ j}{D} \rfloor\)。然后算 \(dp _ i\) 的时候分类讨论，查询 \([0,T _ i \bmod D - 1]\) 的结果减去 \(A\) 后与 \([T _ i \bmod D,D - 1]\) 的结果取 \(\max\) 后作为方程中的 \(\max\) 部分正常转移就做完了。

B 断句

我们考虑两个字符串匹配的充要条件，记 \(dis _ i\) 表示字符串中 \(i\) 距离上一个 \(i\) 的距离，没有则为 \(0\)，则条件为 \(\forall i \in [1,len],dis(S) _ i = dis(T) _ i\)。这样就转化为了普通字符串匹配问题，可以直接哈希。

然后考虑平移区间，我们删去本区间的第一个元素，会导致下一个数字相同的位置的 \(dis\) 变为 \(0\)，所以可以找到这个位置，然后直接修改哈希值就行了。然后就没影响了，加入一个数很简单，乘上 \(Base\) 再加上新的数就行。

C 图

典型的口胡容易证明难（

大胆口胡，答案就是 \(S \to T\) 的最短路长度，然后方案就是 \(ans _ i = \min \{ \max \{ dis _ u,dis _ v \} ,dis _ t\}\)。

大胆猜想一下，发现是对的，因为这相当于给图分层染了下色，每一层就是一个割，如果 \(dis \gt dis _ t\) 则说明这个点和 \(S \to T\) 的最短路无关。

D 异或

首先给出一个结论： 若 \(a \lt b \lt c\)，则 \(\min (a \oplus b,b \oplus c) \ge a \oplus c\)，证明可以从高到低分类讨论。

然后我们就有一个 \(\Omicron(n ^ 2)\) 的做法，\(dp _ i = \sum _ j dp _ j[a _ i \oplus a _ j \ge x]\)。

然后考虑优化，我们依然考虑从高到低分类讨论：

• \(a _ i\) 第 \(j\) 位为 \(1\)，\(x\) 第 \(j\) 位为 \(1\)，则这一位取值只能是 \(0\)
• \(a _ i\) 为 \(0\)，\(x\) 为 \(1\)，只能是 \(1\)
• \(a _ i\) 为 \(1\)，\(x\) 为 \(0\)，可以为 \(1/0\)，如果为 \(1\) 则有取值范围限制
• \(a _ i\) 为 \(0\)，\(x\) 为 \(0\)，可以为 \(0/1\)，如果为 \(0\) 则有取值范围限制

上面的取值范围限制就是我们可以转移过来的区间，二分找出来然后用前缀和优化就好了。