2025.4.12 CWOI 模拟赛 T1 - T4

T1 倒水

我们先简化一下操作，其实本质上，操作只有六种：\(+x,+y,+z,-x,-y,-z\)，并且代价都是 \(2\)，\(-x,-y,-z\) 每出现一个就需要减 \(1\)。

那这就可以 DP 了，记 \(dp _ {i,S}\) 表示容量为 \(i\)，减操作出现状态为 \(S\) 的最小代价。我们先处理加操作，则 \(dp _ {i,0} = \min (dp _ {i,0},dp _ {i - x/y/z,0} + 2)\)。

然后考虑减操作，倒序枚举，\(dp _ {i,S \vee x/y/z} = \min (dp _ {i,S \vee x/y/z},dp _ {i + x/y/z,S} + 2)\)。最后统计答案，先记录一个 \(res\)，然后拿 \(dp _ {i,S} - \text{popcount}(S),dp _ {i,S} \neq +\infty\) 去更新 \(res\)，如果 \(res = +\infty\) 就无解。

T2 让他们连通

板子题。

我们需要求一个区间内的点在多久联通，换言之，就是求只经过加入时间 \(\le x\) 的边能使该区间内点互达的最小的 \(x\)。这个就是 Kruskal 重构树干的活。以加入时间为边权，用最小生成树建出 Kruskal 重构树，然后求区间 LCA，可以用 ST 表来维护。

理论可以给我干到 \(\Omicron(n \alpha) - \Omicron(1)\) ？瓶颈在并查集，（区间）LCA 可以用两个 lxl ST 表搞到 \(\Omicron(n) - \Omicron(1)\)

T3 通信网络

赛时有个大概思路但是没有写，凹 T1 去了，还有逆天出题人分不清有序无序。

满足条件的最大值一眼二分答案，先二分一个 \(P\)，然后枚举每个点 \(u\) 作为中继点的情况，遍历每棵子树，求出其中 \(w _ i \le w _ u + P\) 的个数，先更新 \(ans\) 再更新 \(cnt\)，最后判断中继点本身是否满足，满足给答案加上 \(cnt\)，最后如果 \(ans \ge k\) 就不合法，调小二分限制。

明显可以主席树做到双 \(\log\)，但是过不去，单 \(\log\) 不会。

Update on 2025.4.14：收回双 \(\log\) 过不去的话，这其实可以过。只需要大力的卡常即可。

首先我们可以试试循环展开，读入 \(w\) 等是可以并行的，循环展开优化一下；然后不要 #define int long long，可以 \(70 \to 90\)；vector 存图加边太慢了，前向星存图求子节点太慢了，所以可以用宋佳兴在集训队论文中写的更加快速的存图：先把 \(u,v\) 记录下来，然后记录点的度，记个前缀和，然后 \(\forall u _ i,v _ i,g _ {d _ {u _ i}} \gets v _ i,d _ {u _ i} \gets d _ {u _ i} - 1\)，\(v\) 也同理，然后 \(u\) 的子节点就全部在 \([d _ u,d _ {u + 1})\) 之间，内存连续，加边和遍历都很快。

因为线段树只有最后一层才没有 \(l \lt r\)，所以可以加个 [[likely]] 的分支预测，然后就能以还剩下 \(10\) 多毫秒的好成绩卡过去。

T4 3SUM

原题 ARC180D。

我们把分出来的三段叫做 \(A,B,C\)，区间内最大值记为 \(t\)，最左边的最大值的位置为 \(p\)。

分三种情况讨论：

\(t \in A\)：

我们发现，对于这种情况，扩大 \(A\) 一定不劣，并且 \(B\) 长度越小则代价越小，则 \(B\) 长度一定为 \(1\)。

因此答案为 \(t + \min _ {i = p + 1} ^ {r - 1} (a _ i + \max _ {j = i + 1} ^ r a _ j)\)。

发现右端点不动，因此我们可以把所有右端点为 \(r\) 的询问扔进一个 vector，然后从小往大枚举 \(r\)，到一个点有询问就去更新这个询问，用线段树维护后面那一堆。

\(t \in B\)：

我们可以直接把 \(B\) 扩大为 \([l + 1,r - 1]\)，然后答案就为 \(a _ l + a _ r + \max _ {i = l + 1} ^ {r - 1} a _ i\)，上面也需要一个 RMQ 所以一起跑一个 ST 表。

\(t \in C\)

把原序列和询问翻过来然后当 \(t \in A\) 做。