AtCoder Beginner Contest 400 A-F题解

A - ABC400 Party

语法题。\(Ans = \begin{cases} -1,400 \bmod x \neq 0 \\ \frac{400}{x},400 \bmod x = 0 \end{cases}\)

B - Sum of Geometric Series

简单题，直接加，超过 \(10 ^ 9\) 就 break，输出的时候注意是否大于 \(10 ^ 9\)。

C - 2^a b^2

这个 \(n\) 很大，于是我们考虑 \(\Omicron(\log n)\) 的做法。我们可以枚举 \(2 ^ a\)，则对于每个 \(a\)，满足条件的数的个数为 \(\sqrt{\frac{n}{2 ^ a}}\)。

但是这样有个问题，有的会算重。我们思考算重的条件，是 \(A = 2 ^ i \times a,B = 2 ^ i \times b,b = 2 ^ t a\)，所以，偶数一定会被算重。则我们只统计 \(\sqrt{\frac{n}{2 ^ a}}\) 中的奇数个数就可以去重了。

这题卡精度，需要开 long double。

D - Takahashi the Wall Breaker

对于每个格子，向上下左右分别连边，如果是 # 则权值为 \(1\)，并且尝试再延伸一格，如果还是 #，就再连一条权值为 \(1\) 的边；如果为 .，则权值为 \(0\)。

建完图直接跑 Dijkstra，跑的很快的。边权只有 \(0,1\)，所以还可以跑 01BFS，但是赛时没想。

E - Ringo's Favorite Numbers 3

C 题因为精度卡太久了，不然这题赛时就能过了。

我们可以先筛 \(10 ^ 6\) 以内的质数，开一个 \(cnt\) 数组，对于每个质数，将其倍数的 \(cnt\) 加上 \(1\)，这个是个调和级数，复杂度是 \(\Omicron(n \ln n)\)，对于每一个 \(cnt = 2\) 的数，将它的平方加入 \(ans\)。回答一个 \(n\) 时直接在 \(ans\) 里面二分查找，总时间复杂度是 \(\Omicron(N \ln N) - \Omicron(Q \log N)\)。

F - Happy Birthday! 3

直接做不好做，我们可以把题意的叙述反过来：

给定一个环 \(p\)，一开始 \(p _ i = c _ i\)，每次可以选择一个区间 \([l,r]\) 和一个颜色 \(k\)，满足 \(p _ i = k \vee p _ i = 0\)，以 \(r - l + 1 + x _ k\) 的代价，把 \(p _ {[l,r]}\) 设为 \(0\)，求使得 \(\forall i,r _ i = 0\) 的最小代价。

一眼区间 DP，可以把 \(p\) 复制一份，就不用写环形 DP 了。然后设 \(dp _ {l,r}\) 表示使得 \([l,r]\) 等于 \(0\) 的最小代价。初始状态非常显然，\(dp _ {i,i} = x _ {c _ i} + 1\)

考虑转移，我们可以直接把两段拼起来，\(dp _ {l,r} = \min \{ dp _ {l,m} + dp _ {m + 1,r} \}\)，也可以枚举交集长度为 \(1\)，并集为 \([l,r]\) 的两个区间，也就是 \([l,m],[m,r]\)，因为 \(m\) 在两个区间中被分别计算了一次，所以我们可以减去一次贡献，因此 \(dp _ {l,r} = \min \{ dp _ {l,m} + dp _ {m,r} - x _ {c _ m} - 1 \}\)。

然后，我们还需要考虑左右颜色相等，可以一起操作的情况，则 \(dp _ {l,r} = \min \{ dp _ {l,r},dp _ {l + 1,r} + r - l,dp _ {l,r - 1} + r - l \}(c _ l = c _ r)\)。

合起来转移，答案为 \(\min \{ dp _ {i,i + n - 1} \}\)。