近世代数题目朝花夕拾1

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前言

题目是暑假的时候某学校活动的题。

由于自己啥都没学，因此下面的证明里可能有：

• 不规范表述
• 乱用符号
• 证明不严谨

等问题。发现问题欢迎指正。

正文

给定奇素数 \(p\) 满足 \(p \equiv 2 \pmod 3\)，且 \(f(x) = x^3 \bmod p\). 证明：\(f\) 是 \(\mathbb{Z}_p\) 的一个奇置换当且仅当 \(p \equiv 1 \pmod 4\).

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\(f(0)=0\)，因此下面只考虑 \(f\) 作用在 \(\mathbb{Z}_p^*\) 上时的奇偶性。

\((\mathbb{Z}_p^*, \times) \cong (\mathbb{Z}_{\varphi(p)}, +)\)（换句话说就是取离散对数），于是等价于判断 \(f_1(x) = 3x \bmod (p-1)\) 作用在 \(\mathbb{Z}_{p-1}\) 上的奇偶性。

由于 \(3\) 在 \(\bmod (p-1)\) 意义下存在逆元（\(p-1 \equiv 1 \pmod 3\)），因此 \(f_1\) 是一个置换。

下面考虑 \(\mathbb{Z}_{p-1}\) 中的一个元素 \(x\)，它所在的轮换有多大。

记 \(g = \gcd(p-1, x)\)，则轮换大小为满足 \(3^t x \equiv x \pmod {p-1}\) 的最小正整数 \(t\)，可得 \(t=ord_3(\dfrac{p-1}{g})\)，其中 \(ord_3(x)\) 表示 \(3\) 在乘法群 \(\mathbb{Z}_{x}^*\) 中的阶。

一个轮换对总置换奇偶性的贡献为 \((轮换大小+1) \bmod 2\)，对其中某个元素而言就要除以该轮换大小. 因此只需（在 \(\bmod 2\) 意义下）求出 \(\sum_{i=1}^{p-2} (1+\dfrac{1}{ord_3(\dfrac{p-1}{\gcd(i, p-1)})})\) 即可。没有枚举 \(0\) 是因为 \(f_1(0)=0\)。

转为按 \(\gcd(x, p-1)\) 的值枚举，即求 \(\left(\sum\limits_{g \mid p-1} \varphi(\dfrac{p-1}{g})(1+\dfrac{1}{ord_3(\dfrac{p-1}{g})}) \right) - 1 \times (1+ \dfrac{1}{ord_3(\dfrac{p-1}{p-1})})\).

发现求和符号之外一坨东西算出来为 \(2\)，因此对答案没有贡献，直接忽略。求和符号里面用 \((p-1)/g\) 代替 \(g\) 并拆分一下可得 \(\sum_{g \mid p-1} \varphi(g) + \sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(g)}{ord_3(g)}\). 前一半是经典的 OI 结论，可以通过 DGF 推出和为 \(p-1 \equiv 0 \pmod 2\).

对于后半部分 \(\sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(g)}{ord_3(g)}\)，考虑对 \(g\) 因数分解，将 \(2\) 的幂拆出来。于是令 \(g=nm\)，\(n\) 为 \(2\) 的幂，\(m\) 为奇数。式子等于 \(\sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(n) \varphi(m)}{\mathrm{lcm}(ord_3(n), ord_3(m))} = \sum_{g \mid p-1} \dfrac{\varphi(n) \varphi(m) \gcd(ord_3(n) ord_3(m))}{ord_3(n) ord_3(m)}\)

由升幂定理的推论（可能后面会来补证明？），\(3\) 在乘法群 \(\mathbb{Z}_{2^k}^*\) 中的阶为 \(2^{k-2}\)（当 \(k \ge 3\) 时成立）。因此当 \(n = 2^k, k \ge 3\) 时 \(\dfrac{\varphi(n) \varphi(m) \gcd(ord_3(n) ord_3(m))}{ord_3(n) ord_3(m)} = \dfrac{2^{k-1}}{2^{k-2}} \dfrac{\varphi(m) \gcd(ord_3(n) ord_3(m))}{ord_3(m)} \equiv 0 \pmod 2\). 因此 \(8 \mid g\) 时这些项都为 \(0\).

\(n=2\) 时 \(\varphi(2) = \varphi(1) = ord_3(2) = ord_3(1) = 1\)，因此 \(g\) 对应项与 \(g/2\) 对应项之和为 \(0\). 又由于 \(p-1 \equiv 0 \pmod 2\)，因此一定能取到 \(n=2\) 和 \(n=1\).

\(n=4\) 时 \(\varphi(4) = ord_3(4) = 2\).

• 若 \(m\) 不为 \(1\)，则：

  • 当 \(\dfrac{\varphi(m)}{ord_3(m)} \equiv 0 \pmod 2\) 时该项为 \(0\).
  • 当 \(\dfrac{\varphi(m)}{ord_3(m)} \equiv 1 \pmod 2\) 时，由于 \(\varphi(m) \equiv 0 \pmod 2\)，因此 \(ord_3(m) \equiv 0 \pmod 2\)，于是 \(\gcd(ord_3(4), ord_3(m)) = 2\)，该项为 \(0\).

• 若 \(m\) 为 \(1\)，则：

  \(g=4\)，该项为 \(\dfrac{\varphi(4)}{ord_3(4)}=1\).

由此可知，\(f\) 的奇偶性取决于 \(g\) 能否取到 \(4\)，即是否有 \(4 \mid p-1\). 当 \(4 \mid p-1\) 时 \(f\) 为奇置换，否则不是。

于是 \(f\) 是奇置换当且仅当 \(p \equiv 1 \pmod 4\)，原命题得证。