随笔分类 - 数学 - 求和
摘要：题目大意：给定一个 N 个数字组成的序列，求 $$ \left(6 \times \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=i+1}^{N} \sum_{k=j+1}^{N} A_{i} \times A_{j} \times A_{k}\right) \bmod \left(10^{9}+7\
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摘要：题目大意：求 $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ngcd(i,j)$$ 题解： 最重要的一步变换在于。 $$\sum\limits_{k=1}^n k \sum\limits_{d=1}^{\lfloor{n\over k}\rfloor}\mu(d)\l
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摘要：题目大意：有 $T$ 个询问，每个询问给定 $N, M$,求 $1\le x\le N, 1\le y\le M$ 且 $gcd(x, y)$ 为质数的 $(x, y)$ 有多少对。 题解：直接像 GCD 那道题一样预处理欧拉函数的前缀和并用素数计算答案贡献会TLE。 考虑采用狄利克雷卷积进行优化。
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摘要：杜教筛利用狄利克雷卷积来构造积性函数前缀和之间的递推式，从而利用记忆化搜索在 n 的所有特殊点的前缀和处求得 n 处的前缀和。 杜教筛用来处理积性函数求和问题，时间复杂度为 $O(n^{2\over 3})$。 具体证明如下 $$\mu \star 1=\epsilon$$ $$\sum\limit
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摘要：题目大意：求$$\sum\limits_{p\in prime}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)=p]$$ 题解：忽略最外层的求和式，其余部分可以直接利用狄利克雷卷积+除法分块进行计算。对于最外层的和式来说，直接枚举素数会超时。考虑设 $
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摘要：题目大意：求$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}1$$ 题解：交换求和顺序即可。 $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}1=\sum\limits_{d=1}^n\lfloor{n\over d}\rfloor$$ 代码如
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摘要：题目大意：求$$\sum\limits_{i=1}^ngcd(n,i)$$ 题解：发现 gcd 中有很多是重复的，因此考虑枚举 gcd。 $$\sum\limits_{i=1}^ngcd(n,i)=\sum\limits_{d|n}d\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=d]=\sum\lim
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摘要：题目大意：给定 n, k，求$\sum\limits_{i=1}^n k\%n$ 的值。 题解：除法分块思想的应用。 $x\%y=x y\lfloor {x\over y}\rfloor$，因此只需快速求出 $\sum\limits_{i=1}^n {k\over i}$ 即可。 引理：$i\in
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