随笔分类 - 动态规划 - 树形dp
摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的树，边有边权，选定 M 个叶子节点，使得任意两个叶子节点的树上距离之和最小，求最小值是多少。 题解：任意两点的树上距离和问题应从边的贡献角度考虑。 设 $f[u][i]$ 表示以 u 为根的子树中，选了 i 个叶子节点的最优解，状态转移方程为： $$ f[u][i +
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个点的树，初始全是白点。要求你做 N 步操作，每一次选定一个与一个黑点相隔一条边的白点，将它染成黑点，然后获得该白点被染色前所在的白色联通块大小的权值。第一次操作可以任意选点，求可获得的最大权值。 题解：对于答案仅由起始点决定的 dp 采用换根法。 发现对于两个相邻的染了黑色
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的有根树，1 号节点为根节点，树边有两个权值，分别为走路的代价和开车的代价。有一个旅行者开车要从根节点出发，必须遍历给定点集，可以在任何位置停止旅行，有车时可以选择开车或步行，没车只能跑路，求最小代价。 题解：这是我做过最恶心的树形dp QAQ 和 apple tree
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的有根树，1 号节点为根节点，每个点有两种颜色（黑、白），现给出树上每个节点的颜色，求有多少种分割树的方式，使得分割出的每个联通块中有且仅有一个黑点。 题解：树形dp 由于每个点都需要属于一个联通块，且一个联通块中不会有超过1个黑色点。又由于树形dp的状态转移是从子节点
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摘要：题目大意：给定一棵有根树，1 号节点为根节点，点有点权，边有边权，初始给定一个价值，每经过一条边都会减少该价值，每经过一个点都会增加相应的答案贡献值，求如何在给定价值的情况下最大化答案贡献，并要求最后在 N 号节点停留，若无法停留，则输出相应字符串。 题解： 首先，不考虑要求在 N 号节点停留的限制
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的有根树，边有边权，在根结点处有 K 个人，这些人会遍历树上的所有边，求如何遍历才能使得所有人走过路径的边权和最小。 题解： 引理：对于一棵子树来说，若存在 M 0 个人最后停留在这棵子树内，则对于最优情况来说，来到过这棵子树的人也只能是 M 个，即：不会存在第 M+1
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的有根树，点有点权，边权均为1。现允许从根节点出发走 K 步，求可以经过的点权之和最大是多少。 题解：可以将点权看作是价值，将可以走的步数看作是重量，则转化成了一个树上背包问题。 显然状态中的两个维度应该有以 i 为根和走的步数，但是发现若从当前节点走到了其中一个子节点
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的无根树，每个节点有一个重量和一个价值，现给出一些单位，每个单位可以接受 20 个重量单位，求如何分配这些单位，使得获得的价值最大。 题解：dp 好题qwq。。真的毒瘤。 状态转移很好设计，$dp[i][j]$ 表示以 i 为根节点的子树中，分配 j 个单位可以获得的最
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的无根树，边有边权，现生成一个序列 d，d[i] 表示 i 号节点到树上其他节点距离的最大值。给定一个 m，求 d 序列中最大值和最小值之差不超过 m 的最长连续段的长度是多少。 题解：d[i] 直接两次 dfs 即可，考虑如何求出最长连续段。可以发现若当前 [l,r]
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的无根树，点有点权，边有边权，现需要选出一个点集，满足树上任意一个点到该点集的距离不超过该点的给定值，求选出点集点权的最小值是多少。 题解：可以发现，对于以 i 为根的子树来说，i 点依赖的点很有可能并不是 i 内部的节点，转移比较麻烦。考虑开两个数组 f[], g[]
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的无根树，边有边权。求每个节点到树上其他节点距离的最大值是多少，距离定义为两个节点之间路径的边权和。 题解：首先，进行一次 dfs 求出每个节点到其子树中点的距离的最大值和次大值，最大值用 $dp[u][0]$ 表示，次大值用 $dp[u][1]$ 表示。发现对于树上任
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摘要：题目大意：给定一个二叉树，可以染红绿黄三种颜色，要求父节点和子节点的颜色不同，且如果一个节点有两个子节点，那么两个子节点之间的颜色也不同。求最多和最少有多少个节点会被染成绿色。 题解：加深了对二叉树的理解。 对于二叉树来说，每个节点只需保留左右儿子节点编号即可。设 $f[i]$ 表示以 i 为根的子
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的有根树，1 号节点为根节点，叶子节点有点权，每条边有边权，每经过一条边都减去该边权，每经过一个节点都加上该点权，求在保证权值和为非负数的前提下最多能经过多少个叶子节点。 题解：$dp[u][i]$ 表示在以 u 为根节点的子树中，经过 i 个叶子节点的最大权值和，则有
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摘要：题目大意：给定一个 N 个点的外向树森林，点有点权。从该树中选出若干顶点组成一个集合，满足任意相邻的两个顶点不同时出现在该集合中，求这样集合中点权和的最大值为多少。 题解：与树相比，该题多了环这个结构。对于环上任意一条边来说，边的端点不可能同时被选取，因此，可以选择环上任意一条边，将其断开，答案不变
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摘要：题目大意：给定一个 N 个节点的树，求至少剪掉多少条边才能使得从树中分离出一个大小为 M 的子树。 题解：考虑树形 dp，定义 $dp[u][i][t]$ 为以 u 为根节点与前 i 个子节点构成的子树中，保留 t 个节点（包括根节点）的最小代价，则状态转移方程为 $dp[u][i][t]=min(
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的无根树，点有点权，点权有正有负，求这棵树的联通块的最大权值之和是多少。 题解：设 $dp[i]$ 表示以 i 为根节点的最大子树和，那么只要子树的 dp 值大于0，就应该算到 i 的 dp 贡献中，每次计算完后，答案取最大即可。 这里要说明的是，此题并不需要二次扫描与
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的有根树（其中根节点始终为 1 号节点），点有点权，点权只有 1 和 0 两种，求从根节点到叶子节点的路径中，有多少条路径满足：路径上最大连续点权为 1 的节点个数不超过 M。 题解：一开始想到了树形dp，即：$dp[i][0/1]$ 表示从根节点到该点的路径中不选/选
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个节点的树，求从 1 号节点（根节点）出发，任意节点结束，且至少经过每个节点一次的最短路径是多少。 题解：首先考虑最终要回到根节点的情况，可以发现最短路径长度一定等于该树边权的 2 倍。因此，在任意一点结束只需在答案贡献中减掉该树的一条最长链即可。 代码如下 cpp incl
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摘要：题目大意：给定一棵 N 个点的边权均为 1 的树，依次输出每个点到其他各个点的距离和。 题解：首先任意选定一个节点为根节点，比如 1，第一遍 dfs 遍历树求出子树大小、树上前缀和。第二遍 dfs 遍历这棵树，求出各个点的距离和。 对于遍历到的任意一个节点 i，对于与之相邻的节点 j 来说，答案贡献
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摘要：题目：给定一棵 N 个点的无向树，边有边权，求树上任意两点间的距离和，答案对 1e9+7 取模。 题解：依题可知，这道题所求即：$\Sigma_{i=1}^{n 1}\Sigma_{j=i+1}^{n} dist(i,j)$，枚举树上任意两点并计算距离的复杂度要达到 $O(n^2logn)$，时间难
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