q-analog 学习笔记（通俗版）

通俗版较容易理解，且涉及较浅，也没那么严谨，不过严不严谨不是那么重要（，可以说 \(\text{OI}\) 赛事中，至少是 \(\text{NOI}\) 前通俗版够用了，所以真正的学习笔记先咕了（

壹、基本定义

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q-模拟（ \(\text{q-analog}\) ）引入一个参数 \(q\) ，使得当取极限 \(q\to 1\) 时得到原定理、等式或表达式，这个模拟通常表达为 \(q\) 的一个级数

定义 \([n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}\) ，可得当 \(n\) 为非负整数时 \([n]_q=\sum_{i=0}^{n-1} q^i\)

特殊地，通过洛必达法则能够知道 \(\lim\limits_{q \to 1} [n]_q=n\) ，满足 \(\text{q-analog}\) 的定义

接着我们定义 \([n]_q! \quad (n \in \mathbb{Z}^{*})\) ，有

\[[n]_q!= \begin{cases} 1 & n=0 \\ [n-1]_q![n]_q & n>0 \end{cases} =\frac{\prod\limits_{i=1}^n (1-q^i)}{(1-q)^n} \]

当然也可以定义

\[[n]_q^{\underline{m}}=\frac{\prod\limits_{i=0}^{m-1} (1-q^{n-i})}{(1-q)^m} \quad (m \in \mathbb{N}) \]

通过上面所述，可以引出本文的重中之重—— q-二项式系数

\[\binom{n}{m}_q=\frac{[n]_q!}{[m]_q![n-m]_q!}=\frac{n_q^{\underline{m}}}{[m]_q!} \]

其有许多性质与用处，这些在后面会有所提及，但首要的，能够发现上面的定义在 \(q\) 为单位根的时候容易导致分母为 \(0\) ，我们需要更严谨的定义

 

贰、 q-二项式定理（弱定理）

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定义 \((t;q)_n=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(1-q^{i}t), n \in \mathbb{Z}^{*}\)

有 q-二项式定理（弱定理）

\[(-t;q)_n=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(1+q^{i}t)=\sum_{i=0}^n t^i q^{\tbinom{i}{2}}\binom{n}{i}_q, n \in \mathbb{Z}^{*} \]

注意弱定理是笔者自己标注的，是区分 \(n\) 是否可以为负整数

证明：

设 \(F(t)=(-t;q)_n\) ，则可以推出 \(F(t)(1+q^{n}t)=F(qt)(1+t)\) ，令 \(F(t)=\sum_{i=0}^{n}f_i t^i\) ，则有

\[\begin{align*} [t^m]F(t)(1+q^{n}t)&=[t^m]F(qt)(1+t) \\ f_m+q^nf_{m-1}&=q^mf_m+q^{m-1}f_{m-1} \\ f_m&=\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q^m}q^{m-1} f_{m-1} \\ f_m&=\frac{[n]_q^{\underline{m}}}{[m]_q!}q^{\frac{m(m-1)}{2}} \\ f_m&=q^{\tbinom{m}{2}}\binom{n}{m}_q \end{align*} \]

\(\blacksquare\)

于是能够更为严谨的用 \((t;q)_n\) 的系数来定义 q-二项式系数了

「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对

我们知道对于排列的第 \(i\) 位，它能对逆序对数贡献 \([0,i-1]\) 中的任意一个整数，所以

\[ans=[x^k]\prod_{i=1}^n(\sum_{i=0}^{i-1}x^i)=[x^k]\frac{\prod\limits_{i=1}^n(1-x^i)}{(1-x)^n} \]

能够发现分子就是 \((-x;x)_n\) ，运用 q-二项式定理，有

\[ans=[x^k]\frac{1}{(1-x)^n}\sum_{i=0}^n(-x)^{i}x^{\tbinom{i}{2}}\binom{n}{i}_x=[x^k]\frac{1}{(1-x)^n}\sum_{i=0}^n(-1)^{i}x^{\frac{i(i+1)}{2}}\binom{n}{i}_x \]

我们知道 \([x^i]\frac{1}{(1-x)^n}=\tbinom{n+i-1}{i-1}\) ，所以只需 \(i\) 从小到大递推求出 \(\frac{1}{(1-x)^n}\binom{n}{i}_x\) 即可做到 \(O(n \sqrt{n})\) ，如何递推？直接运用证明中的递推，每次乘上 \(\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q^m}\) 即可

评测链接

 

叁、一些恒等式

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这里先给出一些由常规的二项式系数恒等式扩展到 q-二项式系数时的结果

\[\binom{n}{m}_q=\binom{n}{n-m}_q \]

\[\binom{n}{m}_q=\frac{[n]_q}{[m]_q}\binom{n-1}{m-1}_q \]

\[\binom{n}{m}_{\frac{1}{q}}=q^{-m(n-m)}\binom{n}{m}_q \]

\[\binom{n}{m}_q\binom{m}{k}_q=\binom{n}{k}_q\binom{n-k}{m-k}_q \]

\[\binom{n}{m}_q=q^m\binom{n-1}{m}_q+\binom{n-1}{m-1}_q \]

\[\binom{n}{m}_q=\binom{n-1}{m}_q+q^{n-m}\binom{n-1}{m-1}_q \]

注意到这有两种加法公式，这可以用后文给出 q-反转公式来证明，同时这两种加法公式还可以推出很多恒等式，在此列举一个

\[\sum_{k=0}^{n}q^k\binom{m+k}{m}_q=\binom{n+m+1}{m+1}_q \]

还有 q-范德蒙德卷积

\[\binom{r+s}{t}=\sum_{k}q^{(r-k)(t-k)}\binom{r}{k}_q\binom{s}{n-k}_q \]

接着列出前文提及的 q-反转公式：

\[\binom{n}{m}_q=(-1)^{m}q^{nm-\tbinom{m}{2}}\binom{m-n-1}{m}_q=(-1)^{m}q^{\tbinom{m+1}{2}}\binom{m-n-1}{m}_{\frac{1}{q}} \]

我们同样够用证明 q-二项式定理的方法求出 \(\prod\limits_{i=0}^{n-1}\frac{1}{1-q^it}\) ，推导后结论如下

\[\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{1-q^it}=\sum_{i \ge 0}t^i\binom{n+i-1}{i}_q \]

定义 \((t;q)_{-n}=\prod\limits_{i=-n}^{-1}\frac{1}{1-q^it},n \in \mathbb{Z}^{*}\) ，我们重写 q-二项式定理：

q-二项式定理（强定理）

\[(-t;q)_n=\sum_{i \ge 0} t^i q^{\tbinom{i}{2}} \binom{n}{i}_q ,n \in \mathbb{Z} \]

对于 \(n<0\) ，可以用 q-反转公式证明，读者自证不难

 

通俗版收工了