abc353

a.

模拟。

b.

模拟。

c.

先求出式子 \(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} a[i] + a[j]\)，这个很显然为 \(\sum_{i=1}^{n} (n-1)a[i]\)，记为 \(ans\)。再考虑取模。发现，只有两两的和大于等于 \(10^8\) 才会对答案有影响，所以对于每一个 \(a[i]\)，求有多少 \(a[j] + a[i] \ge 10^8\)，减去相应贡献即可。有一些细节。

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d.

设 \(sz[i]\) 为 \(a[i]\) 的位数。对于每个数 \(a[i]\)，都为前面 \(i-1\) 个数贡献了 \(a[i]\)，为后面的每个数贡献了 \(a[i] \times 10^{sz[j]}\)。因此答案即为 \(\sum_{i=1}^{n} (i-1)\times a[i] + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} a[i] \times 10^{sz[j]}\)。这个从后往前枚举可以 \(O(n)\) 求出。

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e.

遇到这种题，首先考虑把他放到trie上。对于两个字符串，他们的最长公共前缀为两个串在字典树上的共同经过的点的个数。因此对于树上的每个点，记它被经过的次数为 \(res[i]\)，它对答案做出的贡献即为 \(res[i]\times(res[i] - 1)\)。最终的答案为 \(\sum_{i=1}^{cnt} res[i]\times (res[i]-1) / 2\)

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f.

鸽了，明天写

g.

\(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个活动，现在在城市 \(j\) 的最大利润。 \(dp[i][j] = \max_{1 \le k \le n} (dp[i-1][k]-c|j-k|+p_k)\)。答案即为 \(\max_{1 \le i \le n} dp[m][i]\)。

考虑优化这个dp，发现这个绝对值可以拆开分两种情况，一种是 \(k<=j\)， \(p[i][j] = \max_{1 \le k \le j} (dp[i-1][k]-cj+ck+p_k)\)。另一种是 \(k>=j\)，\(p[i][j] = \max_{j \le k \le n} (dp[i-1][k]-ck + cj +p_k)\)。

这两个式子，发现只有 \(i-1\) 这一层对当前有贡献，所以可以用两棵线段树，一棵维护 \(dp[i][j] - cj\)，一棵维护 \(dp[i][j] + cj\)，单点修改区间查询。时间复杂度 \(O(m \ logn)\)。

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