ABC400 C 2^a b^2

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翻译

当且仅当一个正整数 \(X\) 满足以下条件时，它才被称为好整数：

• 存在一对正整数 \((a,b)\)，使得 \(X=2^a \times b^2\)。

例如，\(400\) 是一个好整数，因为 \(400=2^2 \times 10^2\)。

给定正整数 \(N\)，求在 \(1\) 到 \(N\) 之间（包括收尾）的好整数个数。

思路

很容易想出枚举 \(a,b\) 的 \(O(\log N \times \sqrt{N})\) 暴力算法，注意枚举中会出现重复，需要用 map 或 set 记录。

但看到数据范围，很明显会超时，所以思考优化。

首先看能不能优化原式，我们将原式化为 \(X=2^a \times (2^k \times c)^2\)，化简得 \(X=2^{a+2k} \times c^2\)，其中 \(c\) 为奇数。

由这个式子可以得出，枚举的每一个偶数 \(b\) 都可以由更大的 \(a\) 枚举到的奇数 \(b\) 得到，所以我们就不需要枚举偶数 \(b\) 了。

但是仅凭优化枚举是不够的，其实上一步已经可以得出能够去掉枚举 \(b\) 的循环，我们只需要知道对于现在的 \(a\) 能取到的最大的 \(b\) 是多少就行了，因为只能取奇数所以这次循环能取的值就是 \(\frac{b_{max}}{2}+1\) 。

对于如何取最大的 \(b\)，通过式子推导可得 \(b \le \left \lfloor \sqrt{\frac{N}{2^a}} \right \rfloor\)，不过我在调代码时发现这里似乎需要精密处理。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m;
int ans;
signed main(){
	cin>>n;
	for(int a=1;a<=n;a++){//枚举a，这里不用太在意范围，因为后面有退出判断
		int p=n>>a;//相当于n/a^2，位运算优化
		if(!p) break;//a到上限了
		int mxc=sqrt(p);//b
		if(mxc*mxc>p) mxc--;
		while((mxc+1)*(mxc+1)<=p) mxc++;//这两行代码都是上文提到的精密计算
		ans+=(mxc+1)/2;
	}
	cout<<ans;
    return 0;
}