BZOJ2200 道路和航线【好题】【dfs】【最短路】【缩点】

2200: [Usaco2011 Jan]道路和航线

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Description

Farmer John正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到T个城镇 (1 <= T <= 25,000),编号为1T。这些城镇之间通过R条道路 (1 <= R <= 50,000,编号为1到R) 和P条航线 (1 <= P <= 50,000,编号为1到P) 连接。每条道路i或者航线i连接城镇A_i (1 <= A_i <= T)到B_i (1 <= B_i <= T),花费为C_i。对于道路,0 <= C_i <= 10,000;然而航线的花费很神奇,花费C_i可能是负数(-10,000 <= C_i <= 10,000)。道路是双向的,可以从A_i到B_i,也可以从B_i到A_i,花费都是C_i。然而航线与之不同,只可以从A_i到B_i。事实上,由于最近恐怖主义太嚣张,为了社会和谐,出台 了一些政策保证:如果有一条航线可以从A_i到B_i,那么保证不可能通过一些道路和航线从B_i回到A_i。由于FJ的奶牛世界公认十分给力,他需要运送奶牛到每一个城镇。他想找到从发送中心城镇S(1 <= S <= T) 把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案,或者知道这是不可能的。

Input

* 第1行:四个空格隔开的整数: T, R, P, and S * 第2到R+1行:三个空格隔开的整数(表示一条道路):A_i, B_i 和 C_i * 第R+2到R+P+1行:三个空格隔开的整数(表示一条航线):A_i, B_i 和 C_i

Output

* 第1到T行:从S到达城镇i的最小花费,如果不存在输出"NO PATH"。

Sample Input


6 3 3 4
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10

样例输入解释:

一共六个城镇。在1-2,3-4,5-6之间有道路,花费分别是5,5,10。同时有三条航线:3->5,
4->6和1->3,花费分别是-100,-100,-10。FJ的中心城镇在城镇4。


Sample Output


NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100

样例输出解释:

FJ的奶牛从4号城镇开始,可以通过道路到达3号城镇。然后他们会通过航线达到5和6号城镇。
但是不可能到达1和2号城镇。


HINT

 

Source

 

题意:

$N$个点,$R$个无向边$P$个有向边。每条边上有一个权值,无向边的权值一定是正数,有向边可能为负。现在从$S$出发,问到达其他各点的最短路。

思路:

因为有负边,所以dijkstra不能用了。数据造的卡spfa了,据说用spfa优化可以过。

这里用的lyd书上说的解法,缩点然后拓扑序扫描求出单源最短路。复杂度是$O(T+P+RlogT)

由于无向边都是非负的,只有单向边可能是负的并且单向边不构成环。所以可以把图变成一个有向无环图。

首先我们添加所有的无向边,这会使得$N$个节点形成若干个联通块。我们把这些连通块整体看成一个点【缩点】。此时再添加有向边,就可以得到一张有向无环图。而在一个连通块内部我们可以使用堆优化的dijkstra计算块内的最短路。

算法大概分成这样几步:

1、使用dfs构建连通块,$vis[i]$记录的是第$i$个节点所在连通块的编号。

2、加入有向边,计算每个连通块的入度$deg[i]$

3、建立队列进行拓扑排序,最初时包含所有入度为$0$的连通块编号。初始化最短路数组$d$,$d[S] = 0$, 其他点为$inf$

4、使用堆优化的dijkstra处理每一个连通块。每次从堆中取出$d$最小的节点$x$,并且扫描$x$出发的所有边(包括无向和有向),进行松弛操作。

  如果这条边的终点$y$和$x$在同一个连通块中,并且$d[y]$被$d[x]$更新了,就把$y$加入到堆中(与dijkstra相同)

  如果终点和$x$不在同一个连通块中了,需要做的是拓扑排序的步骤。将$y$对应的连通块的入度减$1$,如果入度是0了,就可以插入到拓扑排序的队列末尾了。

 

虐狗宝典阅读笔记:

1、在有向无环图上,无论边权正负,都可以按照拓扑序进行扫描,在线性时间内求出单源最短路。

2、spfa一种名为SLF的优化策略:基于双端队列的思想。在每次更新$dist[y]$之后,把$dist[y]$与当前队头节点(即把$x$出队以后,队头的那个节点)的$dist$值进行比较。若$dist[y]$更小,则从队头把$y$入队,否则仍从队尾入队。

  1 #include<iostream>
  2 //#include<bits/stdc++.h>
  3 #include<cstdio>
  4 #include<cmath>
  5 #include<cstdlib>
  6 #include<cstring>
  7 #include<algorithm>
  8 #include<queue>
  9 #include<vector>
 10 #include<set>
 11 #include<climits>
 12 using namespace std;
 13 typedef long long LL;
 14 #define N 100010
 15 #define pi 3.1415926535
 16 #define inf 0x3f3f3f3f
 17 
 18 int n, r, p, s;
 19 const int maxn = 25005;
 20 vector<pair<int, int> >road[maxn];//终点,权值
 21 vector<pair<int, int> >flight[maxn];
 22 vector<int>seg[maxn];
 23 int vis[maxn];
 24 int deg[maxn];//第i个联通块的总入度
 25 
 26 int cnt;
 27 void dfs(int x)
 28 {
 29     vis[x] = cnt;
 30     seg[cnt].push_back(x);
 31     for(int i = 0; i < road[x].size(); i++){
 32         int y = road[x][i].first;
 33         if(vis[y])continue;
 34         dfs(y);
 35     }
 36 }
 37 void get_connect()
 38 {
 39     cnt = 0;//联通块个数
 40     for(int i = 1; i <= n; i++){
 41         vis[i] = 0;
 42     }
 43     for(int i = 1; i <= n; i++){
 44         if(!vis[i]){
 45             cnt++;
 46             dfs(i);
 47         }
 48     }
 49 }
 50 
 51 LL d[maxn];
 52 bool v[maxn];
 53 void solve()
 54 {
 55     memset(v, 0, sizeof(v));
 56     memset(d, 0x3f, sizeof(d));
 57     d[s] = 0;
 58     queue<int>q;
 59     for(int i = 1; i <= cnt; i++){
 60         if(deg[i] == 0){
 61             q.push(i);
 62         }
 63     }
 64     while(q.size()){
 65         int id = q.front();q.pop();
 66         set<pair<LL, int>, less<pair<LL, int> > >min_heap;
 67         set<pair<LL, int>, less<pair<LL, int> > >::iterator it;
 68         for(int i = 0; i < seg[id].size(); i++){
 69             min_heap.insert(make_pair(d[seg[id][i]], seg[id][i]));
 70             //v[seg[id][i]] = 0;
 71         }
 72         while(!min_heap.empty()){
 73             it = min_heap.begin();
 74             int x = it->second;
 75             min_heap.erase(*it);
 76             //if(v[x])continue;
 77             //v[x] = true;
 78             for(int i = 0; i < road[x].size();i++){
 79                 int y = road[x][i].first;
 80                 LL z = road[x][i].second;
 81                 if(d[x] + z < d[y]){
 82                     if(vis[y] == vis[x]){
 83                         min_heap.erase(make_pair(d[y], y));
 84                         d[y] = d[x] + z;
 85                         min_heap.insert(make_pair(d[y], y));
 86                     }
 87 
 88                 }
 89                 if(vis[x] != vis[y]){
 90                     d[y] = min(d[y], d[x] + z);
 91                     deg[vis[y]]--;
 92                     if(deg[vis[y]] == 0)q.push(vis[y]);
 93                 }
 94             }
 95             for(int i = 0; i < flight[x].size();i++){
 96                 int y = flight[x][i].first;
 97                 LL z = flight[x][i].second;
 98                 if(d[x] + z < d[y]){
 99                     if(vis[y] == vis[x]){
100                         min_heap.erase(make_pair(d[y], y));
101                         d[y] = d[x] + z;
102                         min_heap.insert(make_pair(d[y], y));
103                     }
104 
105                 }
106                 if(vis[x] != vis[y]){
107                     d[y] = min(d[y], d[x] + z);
108                     deg[vis[y]]--;
109                     if(deg[vis[y]] == 0)q.push(vis[y]);
110                 }
111             }
112         }
113     }
114 }
115 
116 int main()
117 {
118     //freopen("in.txt", "r", stdin);
119     scanf("%d%d%d%d", &n, &r, &p, &s);
120     for(int i = 0; i <= n; i++){
121         road[i].clear();
122         flight[i].clear();
123         seg[i].clear();
124     }
125     for(int i = 0; i < r; i++){
126         int u, v, w;
127         scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
128         road[u].push_back(make_pair(v, w));
129         road[v].push_back(make_pair(u, w));
130     }
131     get_connect();
132     for(int i = 0; i < p; i++){
133         int u, v, w;
134         scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
135         flight[u].push_back(make_pair(v, w));
136         deg[vis[v]]++;
137     }
138 
139     solve();
140     for(int i = 1; i <= n; i++){
141         if(d[i] > 1000000000){
142             printf("NO PATH\n");
143         }
144         else{
145             printf("%lld\n", d[i]);
146         }
147     }
148     return 0;
149 }

 

posted @ 2018-11-16 19:06  wyboooo  阅读(279)  评论(0编辑  收藏  举报