bzoj4036 [HAOI2015]按位或

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solution

用\(f[i][j]\)表示第\(i\)次操作后手上数字为\(j\)的概率。

那么就有\(f[i][j]=\sum\limits_{s_1|s_2=j}f[i - 1][s_1]\times p[s_2]\)

所以第\(k\)次操作后手上数字为\(i\)的概率就是\(p^k_i\)。这里的乘法是集合并卷积。

仍然没有卵用。我们用\(FWT\)将它转化为点值。

那么第\(k\)次操作后手上数字为\(i\)的概率就是\(p_i'^k\)。这里的乘法就是简单的数乘。

那么手上数组变为\(i\)的期望次数就是，答案就是\(\sum\limits_{t=1}^{\infty}t (p_i^k-p_i^{k-1})=-(1+p_i+p_i^2+p_i^3+\cdots)=\frac{1}{x-1}\)

然后在用\(IFWT\)转化回去即可。

code

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2020-04-26 08:51:04
* @Last Modified time: 2020-04-26 09:10:07
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1 << 21;
ll read() {
	ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-') f = -1; c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
	}
	return x * f;
}
double a[N];
int main() {
	int n = read();
	for(int i = 0;i < (1 << n);++i)
		scanf("%lf",&a[i]);
	
	for(int i = 0;i < n;++i)
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
			if(!((j >> i) & 1))
				a[j | (1 << i)] += a[j];

	for(int i = 0;i < (1 << n);++i) {
		if(a[i] - 1 >= -1e-8) {
			if(i == (1 << n) - 1) a[i] = 0;
			else {puts("INF");return 0;}		
		}
		else a[i] = 1 / (a[i] - 1);
	}
	for(int i = 0;i < n;++i) 
		for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
			if(!((j >> i) & 1))
				a[j | (1 << i)] -= a[j];
	printf("%.10lf\n",a[(1 << n) - 1]);
	return 0;
}


/*
2
0.25 0.25 0.25 0.25

*/