高等数学

函数极限：

若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 去心邻域内有定义，且存在常数 \(A\)，\(\forall \epsilon > 0\exists \delta > 0\forall 0<|x-x_0|<\delta\)，\(|f(x)-A|<\epsilon\)，则称 \(\lim_{x\rightarrow x_0}=A\)。 简单来看就是函数从两侧不断逼近 \(x_0\) 的结果。我们可以类似的定义左极限和右极限来表示从左侧和右侧逼近。

极限的运算法则挺暴力。设 $ \lim f(x) = A, \lim g(x) = B$，则 \(\lim f(x)\pm g(x)=A\pm B,\lim f(x)g(x)=AB, \lim {f(x)\over g(x)}={A\over B} (B\neq 0)\)，前两个设 \(f(x)=A+\alpha, g(x)=B+\beta\) (\(\alpha,\beta\) 均为无穷小)即可证明。考虑第三个法则：

令 \(\gamma = {A+\alpha \over B+\beta}-{A\over B}={B\alpha - A\beta \over B(B+\beta)}\)，取 \(\epsilon=|{B\over 2}|>0\)，则 \(\exists \delta > 0\) \(\forall 0<|x-x_0|<\delta\)，\(|g(x)-B|<|{B\over 2}|\)，故在某去心邻域内，\(|g(x)|>|{B\over 2}|\),\(|{2\over B}|>|{1\over g(x)}|\)，则 \(1\over B(B+\beta)\) 在此去心邻域内有界，所以 \(\gamma\) 为无穷小，\(\lim {f(x)\over g(x)}={A\over B}+\gamma={A\over B}\)

夹逼准则：

若在某去心邻域内：\(g(x)<f(x)<h(x)\) 且 \(\lim g(x)=\lim h(x)=A\)，则 \(\lim f(x) = A\)。

由此可以证明重要极限：\(\lim_{x\rightarrow 0}{\sin x\over x}=1\)(考虑 \(1<{x\over \sin x}<{1\over \cos x}\))

无穷小的比较：

作商求极限即可。特别的，\(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小记作 \(\beta=o(\alpha)\)。

然后有几个重要的等价无穷小：\(x\sim \sin x,\cos x\sim 1-{x^2\over 2},tan x\sim x, \log_a(x+1)\sim {x\over \ln a},\ln(1+x)\sim x,a^x-1\sim x\ln a,e^x-1\sim x,(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x\)

求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小来代替。比如求 \(\lim_{x\rightarrow 0} {\sin x - \tan x \over {(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}}\)，可以考虑 \(\sqrt[3]{1+x^2}-1 \sim {x^2\over 3},\sqrt{1+\sin x}-1\sim {\sin x\over 2} \sim {x\over 2}\)，\(\sin x - \tan x = \tan x(\cos x-1), \tan x \sim x, (\cos x-1)\sim -{x^2\over 2}\),所以原式等于 \(\lim_{x\rightarrow 0} {{-x^3 \over 2}\over {x^2\over 3}\times {x\over 2}}=-3\)

导数

定义为 \(f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}\)，基本函数求导简单，只需要注意 \(g(f(x))=x\rightarrow g'(y)={1\over f'(g(y))}\)。

通过定义可以发现，可导一定连续，但是连续不一定可导。例如 \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) 在 \(x=0\) 处就不可导。

隐函数求导就是等式两边分别求导之后解方程，可以求一些图形的切线方程。

中值定理

费马引理：若 \(f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 内可导且 \(f(x_0)\) 是 \(U(x_0)\) 中的一个极值点，则 \(f'(x_0)=0\)，证明考虑极限的保号性。

然后就可以得出罗尔中值定理：\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 中连续，\((a,b)\) 中可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则 \(\exists \xi\in (a,b), f'(\xi)=0\)，证明分函数是一条平行于x轴的直线和存在至少一个极值点的情况讨论就行。

罗尔中值定理可以推出拉格朗日中值定理：\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 中连续，\((a,b)\) 中可导，则 \(\exists \xi \in (a,b),f'(\xi)={f(a)-f(b)\over a-b}\)

拉格朗日中值定理实际上是柯西中值定理的特殊情况：考虑函数\(F(x)\) 和 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 中连续，\((a,b)\) 中可导，且 \(\forall x, F'(x)\neq 0\)，\(\exists \xi\in (a,b), {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}={f'(\xi)\over F'(\xi)}\)。

我们这里直接考虑证明柯西中值定理：原式子可化为 \(f'(\xi)- {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)} \cdot F'(\xi)=0\)，我们考虑构造函数 \(\varphi(x)=f(x)-f(b)-{f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}(F(x)-F(b))\)，发现 \(\varphi'(x)=f'(x)- {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}\cdot F'(x)\)，和之前化出来的式子很想，并且它满足罗尔中值定理：连续、可导、\(\varphi(a)=\varphi(b)=0\)，所以 \(\exists \xi \in (a,b),\varphi'(\xi)=f'(\xi)- {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}\cdot F'(\xi)=0\)，原式得证。

洛必达法则

用来求 \(0\over 0\) 或 \(\infty \over \infty\) 型的极限。

若 \(\lim_{x\rightarrow a} {f(x)\over g(x)}\) 为 \(0\over 0\) 型的极限，极限存在且在 \(a\) 的某去心邻域内 \(f'(x),g'(x)\) 存在且 \(g'(x)\) 非零，则 \(\lim_{x\rightarrow a} {f(x)\over g(x)}=\lim_{x\rightarrow a} {f'(x)\over g'(x)}\)

考虑此时极限的取值和 \(f(a),g(a)\) 无关，不妨设 \(f(a)=g(a)=0\),由条件保证了它还是连续的，由柯西中值定理：\({f(x)\over g(x)}={f(x)-f(a)\over g(x)-g(a)}={f'(\xi)\over g'(\xi)}\)，于是原式为 \(\lim_{\xi \rightarrow a} {f'(\xi)\over g'(\xi)}\)

原式为 \(\infty\over \infty\) 型的极限同理，不过要注意使用条件。一般还是万能的。

泰勒

一个简单的理解，我们考虑用多项式逼近 \(f(x)\)，则 \(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{f''(x_0)(x-x_0)^2\over 2!}+{f'''(x_0)(x-x_0)^3\over 3!}+...+{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n\over n!}+o(x^{n})\)

常见的泰勒展开在生成函数里面应该见过很多次了。

考虑求极限的万能(划掉)方法就是泰勒完再洛

咕咕咕