P6672 [清华集训2016] 你的生命已如风中残烛

把所有数都减1就变成了有多少种序列前缀和非负。

题意变成给定长度为 \(m\) 的序列，有 \(n\) 个正数，其他数都是 \(-1\), 且所有数的和为 \(0\)， 求这序列中 \(m\) 个数组成的 \(m!\) 个排列中有多少种序列前缀和非负。

在序列末尾加上 \(-1\),所有数取反逆序之后就变成了 Raney 定理适用的情况， 所有数和为 1。

那么序列总数是 \(m!\), 只有 \(m - n + 1\) 个位置 -1 能插, 答案就是 $$m! \over {m - n + 1}$$。