SG 理论学习笔记

SG 理论是博弈论中的另一个知识点，同样只作用于 ICG 游戏。

SG 理论也有地方说是 SG 函数，不过都是一个东西。

书接上回，这一篇我们继续探讨 ICG 游戏，所以请先阅读 博弈游戏学习笔记。

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SG 函数用来解决一些很复杂的 ICG 游戏问题。

例如，有一个 ICG 游戏：Alice 和 Bob 正在一场组合游戏，这个游戏由 \(7\) 个 DAG 博弈、\(3\) 个 Bash 博弈、\(7\) 个威佐夫博弈、\(4\) 个斐波那契博弈……组成。

（不管有多少个游戏，只要这个东西是 ICG 游戏就行）

规则：每一次行动可以选择其中一个游戏，进行一次行动，如果不能行动就算输。

这是什么啊？？？你给我单个博弈游戏还可以，但是这堆东西组合起来是什么东西？？

考虑突破点：我们知道，任何一个 ICG 游戏，都可以转化为一个 DAG 上面的游戏。

这个是很显而易见的，如果你阅读完了我上一篇文章的话。

那么所有游戏就都变成了一个 DAG 博弈。整个游戏相当于在一个 DAG 森林上面的博弈。

假设我们目前面临着一个 DAG 游戏。

显然可以快速地判断是 N 态还是 P 态。

但是注意这是一个 DAG 森林，不能再只使用 NP 态来描写这个局面了。

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考虑对于每一个结点都赋予一个特殊的值。

不妨使用 \(dp\) 来表示（因为 NP 态的转移本质上也可以说是一种动态规划）：对于 \(u\)，枚举它所有可以连向的点 \(v\)，令 \(dp_u = \text{mex}\{dp_v\}\)。

插叙一句：\(\text{mex}\) 这个运算符很重要，它是指集合中没有出现的最小的自然数。例如 \(\{0,1,2\}\) 的 \(\text{mex}\) 是 \(3\)，\(\{1,2,3\}\) 的 \(\text{mex}\) 是 \(0\)，而 \(\{0,1,3,4\}\) 的 \(\text{mex}\) 是 \(2\)。

特殊地，如果 \(u\) 没有可以连向的结点，则 \(dp_u = 0\)。

很容易可以得出所有点的 \(dp\) 值。

那么这个东西又有什么用呢？？？

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其实是这样的，单个 DAG 博弈的过程，可以看成一个在 \(dp\) 上面取石子的过程。

为什么这么说呢？因为 \(\text{mex}\) 有一个很友好的特点：小于 \(dp_u\) 值在 \(dp_v\) 里面一定出现了，其中 \(v\) 表示 \(u\) 所有连向的点。

所以 \(dp_u\) 到达小于 \(dp_u\) 的 \(dp_v\) 的时候就相当于取石子了。

显然不存在 \(dp_u = dp_v\)，因为它是 \(\text{mex}\)，显然不可能在连向的结点中出现同样的值。所以不会存在不取石子的情况。

你会问：当 \(dp_v > dp_u\) 怎么办呢？？？注意，我们的后手可以再次运用结论，使用还原思想。

因为 \(dp_v > dp_u\)，所以在 \(v\) 连向的结点 \(w\) 中，也一定存在 \(dp_w = dp_u\)（因为小于 \(dp_v\) 的值在所有 \(dp_w\) 中都一定会出现最少一次）。所以后手又可以通过还原将 \(dp_u \to dp_v\) 变大的行为忽略。

于是，这样的一个整个的 DAG 就相当于一个取石子游戏了。

注意，由于每一个游戏的起始点只有一个，所以石子堆的石子数量就是起始点的 \(dp\) 值。

对于这个 \(dp\) 值，就叫做 SG 值。也可以说是 SG 函数。

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考虑再回到原来的问题。我们说过每一个游戏都能变成一个 DAG，然而每一个 DAG 又可以变成一个石子堆。

那不就是一个 Nim 游戏了吗？？？

显然根据结论，如果所有游戏的 \(SG\) 值的异或不是 \(0\)，则它是一个 \(N\) 态，则先手必胜。如果 \(SG\) 值的异或 \(=0\)，则它是一个 \(P\) 态。

考虑具体的 \(N\) 态怎么实现必胜策略：

• 首先，先手让异或和为 \(0\)。

• 接下来有两种情况：

  • 1.后手选择增加其中一个值，先手选择还原。（这个操作次数虽然有限，但是后手能走先手就一定能走）

  • 2.后手选择降低其中一个值，先手正常按 Nim 的必胜策略来操作。

注意一下，Nim 游戏的 SG 值就是它们所有石子堆的异或和。

如何计算 SG

这个才是 SG 函数的难点：\(\text{mex}\) 是什么啊？？如何计算？

首先，我们可以先建 DAG 图之后暴力计算。（暴力计算）

此外，还有两种方法：

• 1.找到数学规律，给出 SG 的计算式子/递推式子（数学分析）

• 2.打表找规律。

CF15C Industrial Nim

显然这个游戏是一个 Nim 套 Nim。

根据我们前面说的，Nim 的 SG 函数 就是所有石子堆数量的异或和。

也就是说要判断这个东西是不是 \(=0\)：

因为 \([x_i,x_i+m_i+1]\) 构成了一个个区间，所以问题变成了如何求区间的异或和。

显然可以使用前缀异或和，即计算 \([L,R]\) 的异或和相当于 \([1,L-1]\) 的异或和异或上 \([1,R]\) 的异或和。

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问题就变成了如何计算 \([1,x]\) 的异或和。

考虑打表找规律。设 \(f(i)\) 表示 \([1,i]\) 的异或和。

\(i\)	\(f(i)\)
1	1
2	3
3	0
4	4
5	1
6	7
7	0
8	8
9	1
10	11
11	0
12	12
13	1

我们发现，这东西有规律！

当 \(i = 4k+1\) 的时候，\(f(i) = 1\)。

当 \(i = 4k+2\) 的时候，\(f(i) = i+1\)。

当 \(i = 4k+3\) 的时候，\(f(i) = 0\)。

当 \(i = 4k\) 的时候，\(f(i) = i\)。

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于是我们就找到了规律，就可以求解这道题目了。分类讨论即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;

int get(int x) {
	if (x % 4 == 0)
		return x;
	else if (x % 4 == 1)
		return 1;
	else if (x % 4 == 2)
		return x + 1;
	else
		return 0;
}

signed main() {
	cin >> n;
	int x = 0;
	while (n--) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		b = a + b - 1;
		x ^= get(b)^get(a - 1);
	}
	if (x)
		cout << "tolik\n";
	else
		cout << "bolik\n";
	return 0;
}