uva12716 GCD XOR（数论、xor、枚举）

题意：

多组测试，每次输入 \(n\)，问有多少对整数 \((a,b)\) 满足 \(1\le a\le b \le n\) 且 \(\gcd (a,b) = a\oplus b\)

\(T\le 1e4, n\le 3e7\)

思路：

设 \(g=\gcd (a,b)\) ，则根据题目条件必有 \(a-b=g\)

证明：

首先要知道一个性质：\(a-b\le a\oplus b(=g)\)

设 \(a=k_1g, b=k_2g\)。当 \(k_1=k_2\) 时题目条件不可能成立，故不用考虑。当 \(k_1>k_2\) 时，\(a-b\ge g\)

综上，\(a-b=g\)

接下来枚举 \(g\) 和 \(a=kg(k\ge 2)\) ，判断 \(b\) 是否合法。怎么判断呢？因为 \(b=(k-1)g\)，所以 \(\gcd(a,b)=g\) 一定满足，故只需判断是否有 \(g=a\oplus b\)

预处理答案，每次询问直接输出。

const signed N = 3e7 + 3;
int ans[N];

signed main() {
    iofast;

    for(int g = 1; g <= N/2; g++)
        for(int a = g + g; a < N; a += g) {
            int b = a - g;
            if((a ^ b) == g) ans[a]++; //注意括号
        }
    for(int i = 1; i < N; i++) ans[i] += ans[i-1];

    int q; cin >> q;
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        int n; cin >> n;
        cout << "Case " << i << ": " << ans[n] << endl;
    }
}