cf1537 D. Deleting Divisors（博弈论）

题意：

有一个正整数n，甲乙二人轮流操作，每次让当前的数减去它的一个因子（但不能减去1或它自己）。不能操作者输。

思路：

质数显然是必败态。打表发现奇数必败，偶数只有 2,8,32,64,... 必败。最终结论是奇数和形如 \(2^{2k+1}\) 的偶数必败，其他必胜。下面证明。

先分类。①奇数；②偶数但不是2的幂；③2的偶次幂；④2的奇次幂

若奇数 \(n\) 是质数则必败，否则 \(n\) 一定只有奇因子。设 \(d\) 为一个因子，则 \(n-d=kd-d=(k-1)d\) ，因为2不可能整除奇数 \(d\) 所以 \(n-d\) 不是2的幂。所以①要么必败，要么转移到②。

②一定有奇因子，设为 \(d\)，则 \(n-d\) 为奇数。所以②一定可以转移到①。

如果甲面临状态②，那么一定可以转移到状态①，然后乙要么必输要么只能把①变回②，这样下去乙必败。所以①是必败态，②是必胜态。

设 \(n=2^{a+b}\)，则 \(2^{a+b}-2^a=(2^b-1)2^a\) ，若 \(2^b-1>1\) 则会转移到必胜的状态②，输掉游戏。所以应有 \(2^b-1=1\) ，原式变为 \(2^{a+1}-2^a=2^a\) ，即幂次每次 \(-1\) 。所以③只能转移到④，④只会转移到③，而 \(2^1=2\) 必败，所以④必败，③必胜。