【BZOJ 1911】 [Apio2010]特别行动队

Description

Input

Output

Sample Input

4
-1 10 -20
2 2 3 4

Sample Output

9

HINT

 

转移方程

f[i]=max(f[j]+a*(h[i]-h[j])^2+b*(h[i]-h[j])+c)

//h数组为前缀和

如此显然的方程复杂度是O（n^2） 的

设j>k且j比k右，则有
f[j]+a*(h[i]-h[j])^2+b*(h[i]-h[j])+c>f[k]+a*(h[i]-h[k])^2+b*(h[i]-h[k])+c
移项可得
f[j]-f[k]+a*h[j]^2-a*h[k]^2-b*h[j]+b*h[k]>2*a*(h[j]-h[k])*h[i]
由此方程我们可以建立一个队列
当队首元素与第二个元素k,j不满足上式时，队首++
取出第一个元素O(1)的更新f[j]
判断队尾的两个元素，以维护上凸的性质

#include<cstdio>
#define ll long long
const int N=1000005;
int a,b,c,n,l,r;
int x[N],q[N];
ll f[N],h[N];
ll sqr(ll x) {return x*x;}
double slop(int k,int j)
{return (double)(f[j]-f[k]+a*sqr(h[j])-a*sqr(h[k])-b*h[j]+b*h[k])/(double)(2*a*(h[j]-h[k]));}
 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&x[i]);
        h[i]=h[i-1]+x[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<h[i])l++;
        int now=q[l];
        f[i]=f[now]+a*sqr((h[i]-h[now]))+b*(h[i]-h[now])+c;
        while(l<r&&slop(q[r],i)<slop(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}