王虹破解三维挂谷猜想

 

 

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2025年初春，乍暖还寒之时，国际数学界传来一则激动人心的消息：年仅34岁的纽约大学柯朗数学研究所副教授王虹（Hong Wang）与不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔（Joshua Zahl）合作，在预印本网站arXiv上提交了一篇长达127页的论文，宣告攻克了困扰数学界一个多世纪的三维挂谷猜想（Kakeya Conjecture）。

这项成就，如同一道耀眼的闪电，划破了理论数学的深邃夜空，引发了全球数学界的强烈震动。消息迅速传遍网络，菲尔兹奖得主、著名数学家陶哲轩（Terence Tao）也在第一时间于其博客撰文推介，盛赞此项工作“展现了非凡的创造力”。

如果这篇论文最终通过严格的同行评审，确认无误，王虹将极有可能成为首位获得菲尔兹奖的中国籍数学家。菲尔兹奖，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次，旨在奖励40岁以下的杰出青年数学家。

这不仅将是王虹个人的荣耀，也是整个中国数学界的骄傲，更是对全球女性科学家的巨大鼓舞——王虹将成为继玛丽安·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani）和玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）之后，第三位摘得菲尔兹奖桂冠的女性。

一、 溯源：从“挂谷之针”到百年猜想

要理解王虹这项成就的非凡意义，我们需要将时间的指针拨回到1917年。那一年，日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）提出了一个看似简单却蕴含无穷奥妙的问题：如何用最小的面积来覆盖一根可以在平面内自由旋转的单位长度的线段（想象成一根“针”）？这个问题后来被称为“挂谷针问题”。

起初，人们倾向于认为，拥有最小面积的形状会是一个类似三角形的三点海波德曲线。然而，数学的魅力往往在于它的出人意料。1928年，苏联数学家阿布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）石破天惊地证明，这样的面积可以任意小，甚至可以小到勒贝格测度为零！

贝西科维奇的构造方法精妙绝伦，他所创造的集合，如今被称为“贝西科维奇集”或“挂谷集”。这些集合具有一种奇特的性质：它们包含了所有方向的单位线段，但面积却可以无限趋近于零。这个结果彻底颠覆了人们对几何直观的认知，也为几何测度论这一新兴领域开辟了广阔的研究空间。 挂谷针问题以及贝西科维奇的解答，不仅具有纯粹数学的内在美，也与调和分析、数论、偏微分方程等多个分支产生了深刻的联系，例如在调和分析的振荡积分理论和Dirichlet级数的分布中都发挥着重要作用， 同时与波动方程解的局部光滑性有密切联系。

自然而然地，数学家们将目光投向了更高维度的空间。挂谷猜想的一般形式，正是关于高维空间中挂谷集的维度问题：

在 n 维欧几里得空间中，包含所有方向单位线段的集合（挂谷集），其闵可夫斯基维数和豪斯多夫维数是否都等于 n ？

这个看似简洁的几何问题，却成为了数学界的一块硬骨头。一维的情形是平凡的；二维的情形，在经历了半个世纪的探索后，于1971年由罗伊·戴维斯（Roy Davies）成功解决。然而，三维以及更高维度的情形，却像一座座难以逾越的高峰，阻挡着一代又一代数学家的脚步。尽管包括沃尔夫（Thomas Wolff）、布尔甘（Jean Bourgain）、卡茨（Nets Katz）、陶哲轩等在内的顶尖数学家都曾在此领域取得重要的阶段性成果，但终极的答案却始终隐藏在迷雾之中。

二、 破局：尺度归纳，精妙绝伦的“双剑合璧”

王虹与约书亚·扎尔的证明，之所以被誉为“突破性”的成果，不仅仅在于他们解决了三维挂谷猜想这个具体问题，更在于他们所采用的方法和策略，为解决同类难题提供了极具启发性的范本。

正如陶哲轩在其博客中所精辟概括的，王虹和扎尔的证明策略，是一种精妙绝伦的“尺度归纳法”。想象一下，我们将那些细长的“针”（实际上是宽度为δ的细管）巧妙地组合成中等尺度的“粗管”，然后再细致入微地分析这些粗管之间如何相互作用，如何相互影响。

这其中，最关键的一步，在于如何处理两种截然不同的情形：

1. “粘性”（Sticky）情形： 在这种情况下，细管在粗管内部表现出“依依不舍”的特性，它们紧密地聚集在一起，抱成一团。对于这种情形，王虹和扎尔在之前的一项合作研究中，已经取得了关键性的突破。
2. “非粘性”（Non-sticky）情形： 与“粘性”情形相反，细管在粗管内部显得“形单影只”，它们彼此分散，保持着一定的距离。这正是本次证明中最为棘手、最具挑战性的部分。

为了攻克“非粘性”情形，王虹和扎尔如同两位技艺精湛的工匠，将一系列前人创造的数学工具和他们自己独创的全新概念巧妙地融合在一起，打造出了一套威力强大的“组合拳”：

• 佩龙树方法： 这是一种源自贝西科维奇本人构造的经典方法，通过迭代地切割、平移和叠加三角形，可以构建出勒贝格测度极小的挂谷集。
• 粒状结构： 这是理解挂谷集结构的关键概念。在中间尺度上，挂谷集往往会呈现出一种“粒状”特征，形成一个个更大的、类似于棱柱的结构，这些结构被称为“颗粒”。“粒状结构”的概念，最早由卡茨、拉巴（Izabella Łaba）和陶哲轩等人提出，后来又被拉里·古斯（Larry Guth）运用多项式方法进行了改进和完善。王虹和扎尔则将古斯的方法灵活地运用到了他们的证明中。
• 沃尔夫公理： 为了能够更一般地处理类似于挂谷集的构型，托马斯·沃尔夫提出了一组公理，用于描述这类构型的基本性质。王虹和扎尔在证明过程中，充分利用了沃尔夫公理提供的框架，使得他们的论证更加严谨和具有普适性。
• 结构定理： 这是王虹和扎尔本次工作的核心亮点之一。当颗粒不像缩放的挂谷集那样排布时，他们的结构定理能够精确地描述这些颗粒如何组织成更大的凸棱柱。这一定理的建立，为整个证明的完成奠定了坚实的基础。
• 弗罗斯特曼测度违例： 在证明过程中，王虹和扎尔发现，在某些情况下，挂谷集会表现出一种特殊的性质，即“弗罗斯特曼测度违例”。当这种违例发生时，可以直接推导出挂谷集的体积下界，从而简化证明过程。
• X射线估计： 这是一种通过分析集合在各个方向上的投影（类似于X射线成像）来估计集合“大小”的技术。王虹和扎尔巧妙地运用X射线估计，有效地控制了颗粒的行为，为最终的证明提供了关键的支持。

在长达127页的证明中，王虹和扎尔运用这些工具，对颗粒和棱柱的维度、排列方式进行了细致入微的分类讨论。在某些情况下，他们利用构型的“超挂谷集”性质（即包含比标准挂谷集更多的管子或颗粒）来获得必要的估计。在另一些情况下，他们则巧妙地借助了科尔多瓦（Córdoba）早期关于平面集合的工作。最终，通过证明某些特定的几何构型会与颗粒维度的最大性假设相矛盾，他们漂亮地完成了整个证明。

三、 绽放：从桂林山水到数学殿堂

王虹的学术之路，堪称“学霸”的典范，也是一个关于热爱、坚持与不断超越自我的励志故事。

1991年，王虹出生于风景秀丽的广西桂林。她的父母都是平乐县沙子中学的普通教师。王虹从小就展现出过人的聪慧和对知识的渴望。4岁时的一次意外烫伤，并没有影响她对学习的热情。在父母的引导下，年仅5岁的她就掌握了一年级的知识，并因此直接跳级进入小学二年级。

在学习上，王虹有着自己独特的节奏和方法。她习惯于在每个学期开始前，就自学完整个学期的课本。遇到难题，她更倾向于独立思考，查阅资料，或者与同学讨论，而不是直接向老师寻求答案。这种独立思考的习惯，培养了她强大的自学能力和解决问题的能力。

2007年，年仅16岁的王虹以优异的成绩考入北京大学。最初，她进入的是地球与空间科学学院。然而，对数学的挚爱，让她在一年后毅然转入了北京大学数学科学学院。在北大，她如鱼得水，跟随王立中老师进行本科生科研，并在刘张炬老师的指导下完成了毕业论文《经典Hodge理论和度量空间上的Hodge理论》。

 

 

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本科毕业后，王虹选择了出国深造。她先是在法国获得了巴黎综合理工学院的工程师学位和巴黎第十一大学的硕士学位，随后又远赴美国，进入麻省理工学院攻读博士学位。在麻省理工学院，她师从著名数学家拉里·古斯，开始深入研究调和分析领域。

博士毕业后，王虹先后在普林斯顿高等研究院、加州大学洛杉矶分校从事研究工作，并于2023年7月起，在纽约大学柯朗数学研究所担任副教授。

王虹的学术成就，得到了国际数学界的高度认可。2022年，她获得了备受瞩目的“玛丽安·米尔扎哈尼新前沿奖”。这个奖项由突破奖基金会于2019年设立，以纪念2017年英年早逝的首位女性菲尔兹奖得主玛丽安·米尔扎哈尼，专门表彰在过去两年内获得博士学位的杰出女性数学家。王虹因其在限制性猜想、局部光滑性猜想及相关问题上的研究进展而获此殊荣。 此外, 王虹还曾获得2023年度世界华人数学家联盟鲍剑文最佳论文奖.

在清华大学丘成桐数学科学中心组织的一次访谈中，王虹分享了她的研究心得。她特别强调了思维碰撞的重要性，认为不同观点的交流和讨论，往往能够激发新的灵感，推动研究的进展。她鼓励年轻的数学研究者们积极参加学术会议，与同行交流，开阔视野。

四、 结语：中国数学的崛起与女性力量的绽放

王虹在三维挂谷猜想上的突破，不仅仅是一项个人的学术成就，更是中国数学崛起的一个缩影，也是女性科学家在数学领域绽放光芒的有力证明。

自1982年丘成桐先生荣获菲尔兹奖以来，中国数学界一直在期待着新的突破。近年来，以恽之玮、张伟、许晨阳、朱歆文等为代表的中国新一代数学家，在国际数学舞台上崭露头角，屡获殊荣，展现出强劲的实力和巨大的潜力。王虹的成就，无疑为这股蓬勃发展的“中国力量”又增添了一抹亮色。

更令人欣喜的是，王虹的成功，也打破了数学领域长期以来由男性主导的局面。她的故事，将激励更多的女性投身于数学研究，勇敢地追求自己的科学梦想。正如王虹在接受采访时所说，她希望年轻的女孩子们“不要拒绝交流，不要害怕犯错，不要害怕不一样，勇敢地追求自己喜欢的东西”。

王虹与扎尔的论文，目前正在接受全球顶尖几何学家的严格审阅。虽然最终结果尚未尘埃落定，但这篇论文所引发的广泛关注和讨论，已经为数学研究注入了新的活力。我们有理由相信，在不久的将来，中国数学将在世界数学的版图上占据更加重要的地位，而女性数学家也将以更加自信和耀眼的姿态，在数学的天空中自由翱翔。

 

参考文献链接

剑指菲尔兹奖：王虹破解三维挂谷猜想