4.9 杂题选补

hdu 春季联赛第五场 1009

• 概率和博弈论的结合，做过一次之后就比较简单了。主要的问题在于如何发现规律和推导出递推公式。假设小凯先手时小凯胜的概率为 P，Kc0 先手时小凯胜的概率为 Q；首先我们发现在小凯先手时，当前个数取余 1, 3, 4 时必胜，这是推理的第一步；我们知道 Kc0 先手时，小凯获胜的概率为 Q(i) = P(i - 4) / 2 + P(i - 1) / 2，这意味着我们可以把这个求 P 的问题转化为求 Q 的问题，这是因为 Q 的递推式比较好求，这是推理的第二步，即发现求 Q 的递推式比较简单；最后一步，也就是求 Q 的递推式反而是最简单的一步，我们知道 P(i) = max(Q(i - 4), Q(i - 1))，进一步转化后可以发现这个式子最终会在 i % 5 = 2 或 0 时成为 P(i) = P(i - 5) / 2 + 1 / 2，之后就可以 O(1) 求出 P(i) 了。

CF 1012 div2 D

• 构造排列 \(p\)，使得 \(c_1 \sim c_n\)（\(c_i\)为 \(\frac{\Sigma_{j = 1}^{i} p_j}{i}\)) 中至少有 \(\lfloor \frac{1}{3} \rfloor - 1\) 个素数。
• 我们可以考虑这样构造：我们先钦定一个质数 x，然后这样排：x, x - 1, x + 1...这样排下来至少会有 x 个 \(c_i\) 是质数。也就是说，只要我们钦定的这个 x 大于等于 \(\lfloor \frac{n}{3} \rfloor\)就可以了。

CF 1014 div2 E

• 本题的题意是构造出来的棋盘中，只要黑白相间的盘块对数为偶数即可（本题用 \(i_1 + j_1 < i_2 + j_2\)）来限制了两个盘块最多只能组成一个盘块对）。
• 我们发现棋盘内部的盘块是黑是白其实对于答案的贡献是相同的，举个例子：如果一个盘块 a 周围是 1 个黑 3 个白，那么不管它是黑是白，其对最后答案对数的奇偶性的贡献是相同的，这启示我们只需要考虑相邻盘块数为奇数的盘块即可，也就是除顶点盘块之外的边缘盘块（下文中所称边缘盘块默认为除顶点盘块外的边缘盘块）。
• 当边缘盘块中尚存在绿色盘块时，我们可以随意安排棋盘上绿色盘块的颜色，只需要留下一个绿色边缘盘块来控制答案对数的奇偶性即可，此时的方案数为 \(2^{n * m - k - 1}\)。
• 当边缘盘块全部被染成黑色或白色，由于棋盘内的盘块颜色不会影响答案，我们可以在假设内部盘块全为白色的情况下对边缘盘块进行遍历，最后所得的不同颜色盘块对数的奇偶性即为最终答案的奇偶性。若其为奇数，显然方案数为 0，也就是不合法；若其为偶数，则剩下的盘块皆可随意处置，即答案为 \(2^{n * m - k}\)。