网络流（自用）

最大流

• 如何理解 FF 算法中“反悔”的操作？
  • 假设我有一条反向边 (u, v) ，且有边 (u, u1)、(v, v1)、(v2, v)，此时如果有一个大小为 x 的流 a 经过了这条反向边，则意味着：(v, u) 的流量减小 x，且 (u, u1) 的边中有大小 x 的流量的来源变为 a；同时原本从 (v2, v) 汇入 (u, v) 的流中有大小为 x 的流量不再汇入 (v, u)，而是进入 (v, v1)。
• 插一个 A* 算法的理解：在 A* 算法中，我们可以视作将整个图提了起来，成为一种邻接链表的形式，每一个节点连接的链表中存储着和其连接着的所有边。那么对于每个结构体单元来说，我们可以将其视为一个 “-·->” 的形状，就是说其是指一条边，存储着以下信息：边指向的节点的序号（在形状中体现为 · ）、边的权值和下一条边的指针（在形状中体现为 ->），前两个属于边的信息，后一个则属于链表需要的信息。我们做起点为 h[a] 的遍历，那么遍历到的所有边的起点节点都是 a ，所以我们不需要在结构体单元中存储起点。那么现在我们可以说，将每个结构体单元视为一条边是没有问题的。
• EK 算法流程
  • 首先使用 bfs 来寻找增广路，每次 bfs 只找一条路，并在寻找时记录每个节点的前驱（这是为了建立反向边，pre 数组记录的内容是边的指针）。寻找到 t 之后，根据前驱边反向遍历找到的这条路并修改正反边的权值，最后加上 t 的最大流量。
  • trick：我们如果在建边的时候同时建立正向边和反向边，并且将第一个边的指针设为2，那么可以保证正向边的指针都是偶数，反向边的指针都是奇数，并且假如我有正\反向边的指针 idx，那么完全可以通过 idx ^ 1 来得到其对应的反\正向边。

费用流

• 对比最大流问题，此类问题会在找增广路时找费用最小的路线，并且多了“退费”的过程。我们依然用上面的例子，走反向边时，意味着 (u, v) 的部分流量会流到其他地方，但是已计入结果的总流量不会变。相应地，这条边上被退流的流量对费用的贡献要被退掉，所以我们需要在反向边上赋一个负的权值，用来退费。
• 我们通过 spfa 找的是单位费用总和最小的路线，每做一次 spfa，就找到了一条增广路，也就是找到了“一道流”，最终图中的总流量是固定的，所以我们才需要每次都找单位权值最小，因为最终的总费用是形似\(flow\_sum(dist_1 + dist_2 +...+ dist_k)\)的。