bzoj 1096[ZJOI2007]仓库建设 - dp + 斜率优化

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

  L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

  第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

  仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

 

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

 

又是一道斜率优化的题

可以列出最简单的转移方程 :

$$dp[i] =min(dp[j] +\sum\limits_{k = j + 1}^i p[k] * (x[i] - x[k]))   [j ∈ (0, i - 1)]  + c[i]$$

$$dp[i] = dp[j] + x[i] * \sum\limits_{k = j + 1}^i p[k] - \sum\limits_{k = j + 1} ^ i  p[k] * x[k]$$

但这是 $n ^ 2$的

所以我们可以转换一下

 $$s[i] = \sum\limits_{k = j + 1}^i p[k] $$

$$t[i] =  \sum\limits_{k = j + 1} ^ i  p[k] * x[k]$$

$$dp[j] + t[j] = x[i] * s[j] + dp[i] + t[i] - c[i] - s[i]*x[i]$$

于是点坐标为 $(s[j], dp[j] + t[j])$

 

dp[i] 为 斜率为x[i] 且经过这些点的直线中斜率最小的

因为 x[i]单调递增,所以可以用凸包维护

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #define LL long long
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 const int MAXN = 1e6 + 100;
10 
11 int N;
12 LL x[MAXN], p[MAXN], c[MAXN], sum[MAXN], t[MAXN];
13 LL dp[MAXN];
14 struct node {
15     double x, y;
16 } n[MAXN];
17 LL s[MAXN];
18 inline LL read()
19 {
20     LL x = 0, w = 1; char ch = 0;
21     while(ch < '0' || ch > '9') {
22         if(ch == '-') {
23             w = -1;
24         }
25         ch = getchar();
26     }
27     while(ch >= '0' && ch <= '9') {
28         x = x * 10 + ch - '0';
29         ch = getchar();
30     }
31     return x * w;
32 }
33 
34 double slope(int a, int b)
35 {
36     return (n[a].y - n[b].y) / (n[a].x - n[b].x);
37 }
38 
39 int head = 0, tail = 0;
40 int main()
41 {
42 //    freopen("storage8.in", "r", stdin);
43 //    freopen("storage.out", "w", stdout);
44     N = read();
45     for(int i = 1; i <= N; i++) {
46         x[i] = read(), p[i] = read(), c[i] = read();
47         sum[i] = sum[i - 1] + p[i];
48         t[i] = t[i - 1] + p[i] * x[i];
49     }
50     s[tail++] = 0;
51     for(int i = 1; i <= N; i++) {
52         while(head < tail - 1 && slope(s[head], s[head + 1]) <= x[i]) {
53             head++;
54         }
55         dp[i] = dp[s[head]] + (sum[i] - sum[s[head]]) * x[i] + (t[s[head]] - t[i]) + c[i];
56         n[i].x = sum[i];
57         n[i].y = dp[i] + t[i];
58         while(tail > head + 1 && slope(s[tail - 1], s[tail - 2]) > slope(i, s[tail - 1])) {
59             tail--;
60         }
61         s[tail++] = i;
62     }
63     printf("%lld\n", dp[N]);
64 //    fclose(stdin);
65 //    fclose(stdout);
66     return 0;
67 }
68 
69 /*
70 3
71 
72 0 5 10
73 
74 5 3 100
75 
76 9 6 10
77 
78 */
View Code

 

posted @ 2018-03-18 22:11  大财主  阅读(55)  评论(0编辑  收藏