强连通分量的三个求法

这里主要谈及强连通分量（以下简称SCC，strongly connected component）三种常见的求法（以下涉及的图均为有向图），即Kosaraju、Tarjan和Gabow。三种算法背后的基础思想都是DFS，只是它们通过DFS获得了不同的信息。各位大哥大姐继续往下读之前，最好对DFS相关的概念和性质比较熟悉，例如，什么叫做<a title="DFS" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Depth-firstsearch" target="blank">反向边、交叉边</a>。

Kosaraju

我就不八卦这大哥了。Kosaraju的方法也就是导论第二版中文22章中讲的方法， 即广为人知的两遍DFS。Kosaraju算法说白了就是先对原图来一遍DFS， 再把所有边的方向都倒过来，按照刚才DFS求出的结点完成时间的逆序，再来一遍DFS。

那么为啥可以这么做呢？

这就需要一个性质来帮忙，即当A、B为两个SCC，且存在有向边(a, b)，其中a∈A，b∈B， 那么必然有：A的完成时间晚于B（一个SCC的完成时间表示该SCC中所有结点完成时间最晚的一个）。

可以简单证明一下：

如果我们在第一遍DFS的时候，A先于B被访问，且A中的第一个被访问到的结点是x， 那A和B中所有的结点显然都能在x之后被访问到。于是x的完成时间要晚于B中任何一个结点， 从而A的完成时间晚于B。

如果B先于A被访问，由于A和B是不同的两个SCC，而且只有A到B的边，于是B就不能到达A。 那么当B中的结点被访问完之后，A中的点仍然处于为访问状态，自然A的完成时间也就晚于B了。

所以在第二遍DFS时，第一次取到的那个完成时间最晚的结点u， 它所在的SCC在转置图中就不能有指向外的边。于是对转置图的第二遍DFS， 从u开始，便能轻易走遍所有处于同一SCC的结点。后续的遍历步骤也就类似了。

时间复杂度自然是算在两次DFS头上，O(V+E)。

Tarjan

Tarjan貌似跟Hopcroft都是Cornell的大神。总的来说， Tarjan算法基于一个观察，即：同处于一个SCC中的结点必然构成DFS树的一棵子树。 我们要找SCC，就得找到它在DFS树上的根。

那么怎么找呢？

考虑一下，如果DFS访问到了某个结点u，又顺着u来到了结点v， 但从v发出了一条反向边，指向了u的前驱w，那根据DFS的性质， u->v->w->u构成了一个环。这一堆东西必然处于同一个SCC。 所以某个要找到SCC子树的根，就得找那个在DFS树中最早被发现的结点，且这个结点要与它的一堆后继结点形成环。

这时候DFS的特性就派上用场了。最早发现的结点可以通过记录发现时间来实现，而反向边的判断可以通过结点颜色，即访问状态来实现。 定义一个结点的low值为：从该节点的子树结点可达的，尚未求出属于哪个SCC的结点的最早访问时间。 由于SCC构成子树，所以求没求出某个结点所在的SCC用栈来刻画就可以了： 每次访问到一个结点u，记录发现时间visit，并将它推到栈里去。 如果从u可达的结点v没访问过，那么访问v，用v的low值更新u； 否则，如果v已访问过，那就看看它在不在栈中。如果在，说明还没确定v到底属于哪个SCC， 这时(u, v)就是一条反向边了，根据v的visit值，更新u的low值即可。 最后回到u结点时，如果u的low值和visit相等了，显然u就是我们要找的根节点了。 从栈里把u和其上所有结点弹出来，这一堆东西就在一个SCC里了。上伪代码：

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// n: number of nodes in the graph

// visit[i]: discovery time of node i
// low[i]: low-value of node i
// time: the time stamp
// S: the stack

time <- 1

FIND_SCC(G):
for i<-1 to n:
    if visit[i] is not defined:
        TARJAN(i)

TARJAN(u):
visit[u] <- time
low[u] <- time
time <- time + 1
push(S, u)

for each edge (u, i) in the graph:
    if visit[i] is not defined:
        TARJAN(i)
        low[u] <- min{ low[u], low[i] }
    else if i is in S:
        low[u] <- min{ low[u], visit[i] }

// things popped here are in the same SCC
if visit[u] == low[u]:
    pop all node above u on stack including u

每个结点入栈一次出栈一次，每条边访问一次，O(V+E)。

Gabow

Gabow与Tarjan的思路是一致的。但Gabow使用了另一个栈来找出SCC子树的根。 Gabow使用的栈S与Tarjan一样，保存尚未决定属于哪个SCC的结点； 栈P保持如下性质：栈顶结点始终具有最小的visit值， 即保持栈顶元素的visit值小于等于当前发现的反向边指向的祖先结点的visit值。

栈S和P都随着DFS的进行增长。若当前正在访问结点u，从u可达点v， 先将u压入两个栈中。这一步骤相当于Tarjan中初始化一个结点的low值为当前visit值。 如果v没有访问过，则访问v；否则判断v是否在S栈中。 如果在，那么(u, v)为反向边，此时从P栈顶弹出那些晚于v被发现的结点。为啥？ 因为此时v是u的后继结点，我们得找出以u为根的子树结点能到达的最早访问的结点， 类似于Tarjan算法中对low值的更新。

再一次回到u时，若P栈栈顶的元素就是u，表明u就是SCC子树的根。 与Tarjan类似，从S栈中弹出元素即找到了一个SCC，代码：

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GABOW(u):
visit[u] <- time
time <- time + 1
push(S, u)
push(P, u)

for each edge (u, i) in the graph:
    if visit[i] is not defined:
        GABOW(i)
    else if i is in S:
        repeat popping nodes on P until visit[top(P)] <= visit[i]

// things popped here are in the same SCC
if top(P) == u:
    pop all node above u on S including u
    pop u from P

Gabow时间复杂度也为O(V+E)，常数因子的差别各位大神请自行分析。

posted @ 2014-12-02 22:17  Jessica程序猿  阅读(3689)  评论(0)  编辑  收藏  举报