Symmetric Matrix

Symmetric Matrix

 

 

 

 题意：构造满足上述4个条件的矩阵，问能构造多少个

分析：可以把这个矩阵看做是无向图的邻接矩阵，那么我们就可以把问题转化为求无向图中所有点的度数都为2的图有多少个。我们考虑\(f\left [ n\right ]\)表示\(n\)个结点的图满足条件的数量。

我们考虑图中的最后一个点所在的环中有多少个结点:

1.当最后一个环只有两个结点的时候:（为什么不合并为第二种情况呢，因为当一个环只有两个点时，除以\(2\)就不对了）

\(C_{n-1}^{1}\ast f\left ( n-2\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )\)

表示从除最后一个点以外的\(n-1\)个点中选出1个点与最后一个点形成环，前\(n-2\)个点形成满足条件的图的总情况有多少

 

2.考虑最后一个点所在的环有\(n-k\)个结点的情况，其中\(\left ( 2\leq k且\left ( n-k\right )> 2\right )即\left ( 2\leq k\leq n-3\right )\)

我们可以先从前n-1个结点中选出k个结点形成满足条件的图，那么剩下的\(n-k-1\)个结点就有\((n-k-1)!\)种形成链的方式（因为每个点的度为\(2\)，且这\(n-k-1\)个结点要与最后一个点形成环，所以这\(n-k-1\)个结点只会形成链），然后我们再加入最后一个结点与这条链的首尾相连形成环，由于首尾的顺序与形成的环的方式是无关的，所以这里要除以一个\(2\)将重复的情况去除（比如\(1,2,3\)三个结点的全排列中就有\(1,2,3\)和\(3,2,1\)两种，由于它是无向图，所以在加入最后一个结点\(4\)之后形成的环都是\(1-2-3-4-1\)，就有一种情况重复计算了）

 

所以：公式为：

\(C_{n-1}^{k}\ast f\left ( k\right )\ast \frac{\left ( n-k-1\right )!}{2}\)

 

最后：

\(f\left ( n\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )+\sum_{k=2}^{n-3}C_{n-1}^{k}\ast f\left ( k\right )\ast \frac{\left ( n-k-1\right )!}{2}\)

\(f\left ( n\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )+\sum_{k=2}^{n-3}\frac{\left ( n-1\right )!}{k!\ast \left ( n-k-1\right )!}\ast f\left ( k\right )\ast \frac{\left ( n-k-1\right )!}{2}\)

1.\(f\left ( n\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )+\sum_{k=2}^{n-3}\frac{\left ( n-1\right )!}{k!}\ast \frac{f\left ( k\right )}{2}\)，那么有

2.\(\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-1\right )=\left ( n-1\right )\ast \left ( n-2\right )\ast f\left ( n-3\right )+\left ( n-1\right )\ast \sum_{k=2}^{n-4}\frac{\left ( n-2\right )!}{k}\ast \frac{f\left ( k\right )}{2}\)

\(1式-2式\)得：

\(f\left ( n-1\right )\ast \left ( f\left ( n-1\right)+f\left ( n-2\right )\right )-\left ( n-1\right )*\left ( n-2\right )\ast f\left ( n-3\right )/2\)

AC_Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
#define rep(i,first,second) for(int i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(int i=first;i>=second;i--)

int n,m;
ll f[maxn];
int main()
{
    while( ~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if( m==1 ){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        f[1]=0;
        f[2]=f[3]=1;
        rep(i,4,n){
            f[i]=((i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%m-((ll)(i-1)*(i-2)/2*f[i-3])%m + m)%m;
        }
        printf("%lld\n",f[n]);
    }
    return 0;
}

参考博客：here