初步---状压DP

【使用情况】：

在状态比较多的情况下，同时状态只需要记录是或非，使用二进制将其压缩，从而达到缩减时间复杂度的效果。

由于要使用二进制来表示状态，所以这类问题的数据范围会相对较小\(\left ( n\leq 20左右\right )\)，时间复杂度经常含有 O(2ⁿ).代替爆搜的常用方法

【二进制基础】：

若当前状态为s，对s有如下操作：（第i位是指从右往左数的第i位）

1.判断第i位是否为0：(s&(1<<(i-1)))==0

2.判断第i位是否为1：((1<<(i-1))&s)>0

3.将第i位置0：s&(~(1<<(i-1)))

4.将第i位置1：s|(1<<(i-1))

5.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉：s=s&(s-1)

6.最右边 i 位：s&((1<<(i-1))-1)

7.第i位取反：s^(1<<(i-1))

8.枚举子集：

for(int s1=s;s1!=0;s1=(s1-1)&s){
    s2=s^s1;
}

 入门题目：

吃奶酪

 

 题解：其实可以比较容易想到dp，dp部分状态转移见代码，状态情况从\(000000000000000\left ( 15位\right )\sim111111111111111\left ( 15位\right )\)\(\left ( 2进制形式\right )\)，化为\(10\)进制，最大也就是\(2^{16}-1\)，可以开一个二维dp数组：\(dp\left [ i\right ]\left [ j\right ]表示i状态的最后一步是j位置\)

具体见代码：

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const double inf=9999999999.9;
const int mod=1e9+7;
#define rep(i,first,second) for(int i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(int i=first;i>=second;i--)

struct point{double x,y;}p[30];
double dp[1<<15][20];
double dis[20][20];
int n;

double Dis(int i,int j){
    double xx=p[i].x-p[j].x;
    double yy=p[i].y-p[j].y;
    double d=sqrt((1.0*xx*xx)+(1.0*yy*yy));
    return d;
}

void dpFuc(){
    rep(i,1,(1<<n)-2){//计算从第i种状态可以到达的所有状态
        for(int pre=0;pre<n;pre++){//最后一步,从第pre位
            if( !(i&(1<<pre))) continue;//跳过还没走过的位置
            for(int now=0;now<n;now++){//到now位
                if((i&(1<<now))) continue;//跳过已经走过的位置
                dp[i|(1<<now)][now]=min(dp[i|(1<<now)][now],dp[i][pre]+dis[now+1][pre+1]);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    memset(dp,127,sizeof(dp));//double 型赋最大值

    cin>>n;
    p[0].x=0.00,p[0].y=0.00;
    rep(i,1,n) cin>>p[i].x>>p[i].y;
    rep(i,0,n){//用（0，0）到其余各点的距离初始化dp数组
        rep(j,i+1,n){
            double dist=Dis(i,j);
            dis[i][j]=dist;dis[j][i]=dist;
        }
    }
    rep(i,0,n-1){
        dp[1<<i][i]=dis[0][i+1];
    }

    dpFuc();
    double ans=inf;
    rep(i,0,n-1){
        ans=min(ans,dp[(1<<n)-1][i]);
    }
    cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans<<endl;
    return 0;
}

注意：

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const double inf=9999999999.9;
const int mod=1e9+7;
#define rep(i,first,second) for(int i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(int i=first;i>=second;i--)

struct point{double x,y;}p[30];
double dp[1<<15][20];
double dis[20][20];
int n;

double Dis(int i,int j){
    int xx=p[i].x-p[j].x;//这里错了,一定要定义成double
    int yy=p[i].y-p[j].y;//这里错了,一定要定义成double 
    double d=sqrt((1.0*xx*xx)+(1.0*yy*yy));
    return d;
}

void dpFuc(){
    rep(i,1,(1<<n)-2){
        for(int pre=0;pre<n;pre++){
            if( !(i&(1<<pre))) continue;
            for(int now=0;now<n;now++){
                if((i&(1<<now))) continue; 
                dp[i|(1<<now)][now]=min(dp[i|(1<<now)][now],dp[i][pre]+dis[now+1][pre+1]);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    memset(dp,127,sizeof(dp));//double 型赋最大值

    cin>>n;
    p[0].x=0.00,p[0].y=0.00;
    rep(i,1,n) cin>>p[i].x>>p[i].y;
    rep(i,0,n){//用（0，0）到其余各点的距离初始化dp数组
        rep(j,i+1,n){
            double dist=Dis(i,j);
            dis[i][j]=dist;dis[j][i]=dist;
        }
    }
    rep(i,0,n-1){
        dp[1<<i][i]=dis[0][i+1];
    }

    dpFuc();
    double ans=inf;
    rep(i,0,n-1){
        ans=min(ans,dp[(1<<n)-1][i]);
    }
    cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans<<endl;
    return 0;
}