动态规划之最长公共子序列
动态规划法:
经常会遇到复杂问题不能简单的分成几个子问题,因而会分出一系列子问题。简单的采用把大问题分解成子问题,并综合子问题解导出大问题的方法,问题求解耗时会按着指数幂级数增加。为了节约重复求相同的子问题的时间,引入一个数组,不管他们是否对最终解有帮助,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划采用的基本方法。
问题:求两个字符序列的最长公共子序列。字符序列指的是从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也去不掉)后所形成的子字符串。
令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1”,序列Y=“y0,y1,…,yk-1”是X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…,ik-1>,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列;
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解:
引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成:
回溯输出最长公共子序列过程:
算法分析:
由于每次调用至少向上或向左(或向上向左同时)移动一步,故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况,此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反,步数相同,故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<string> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 vector<vector<int>> LCS(string &s1, string &s2 ,int &len) 7 { 8 int len1 = s1.size(), len2 = s2.size(); 9 vector<vector<int>> c(len1+1, vector<int>(len2+1,0)); 10 vector<vector<int>> b(len1+1, vector<int>(len2+1,0)); 11 for (int i = 0; i <= len1; i++) 12 c[i][0] = 0; 13 for (int j = 0; j <=len2; j++) 14 c[0][j] = 0; 15 for(int i=1;i<=len1;i++) 16 for (int j = 1; j <=len2; j++) 17 { 18 if (s1[i-1] == s2[j-1]) 19 { 20 c[i][j] = 1 + c[i - 1][j - 1]; 21 b[i][j] = 0; 22 } 23 else if (s1[i-1] != s2[j-1]) 24 { 25 if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) 26 { 27 c[i][j] = c[i - 1][j]; 28 b[i][j] = 1;//记录是由哪个子问题求得的解。 29 } 30 else 31 { 32 c[i][j] = c[i][j-1]; 33 b[i][j] = -1; 34 } 35 } 36 } 37 len = c[len1][len2]; 38 return b; 39 } 40 41 42 void PrintLCS(vector<vector<int>>& b, string& s1, int len1, int len2) 43 { 44 if (len1 == 0 || len2 == 0) 45 return; 46 if (b[len1][len2] == 0) 47 { 48 PrintLCS(b, s1, len1-1, len2 - 1); 49 cout << s1[len1 - 1]; 50 } 51 else if (b[len1][len2] == 1) 52 PrintLCS(b, s1, len1 - 1, len2 ); 53 else 54 PrintLCS(b, s1, len1 , len2 - 1); 55 } 56 int main() 57 { 58 string s1 = "ABCBDAB"; 59 string s2 = "BDCABA"; 60 int len = 0; 61 vector<vector<int>> b; 62 b = LCS(s1,s2,len); 63 cout << len; 64 PrintLCS(b,s1,s1.size(),s2.size()); 65 }