动态规划算法------背包问题

1、动态规划与分治法的相似点：都是将待求问题分解成若干个子问题，先求解出这些子问题，然后从子问题的解得到原问题的解

                                  不同点：适合用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题一般不是互相独立的。

 

2、动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中可能有许多可行解，每一个解都对应一个值，希望找到具有最优值的解。

 

3、动态规划算法的有效性依赖于最优子结构 和 子问题重叠

最优子结构 指的是问题的最优解 包含了 其子问题的最优解，使得程序能以自底向上的方式递推地从子问题的最优解逐步  构造出 整个问题的最优解

 

子问题重叠 指的是对某些子问题重复求解多次，动态规划能存储这些解。

 

4、解决动态规划的问题的手段：

第一：递归:先自上到底 再 自底到上  优势：正着由大规模问题推向小规模问题，容易想  劣势：但是效率低。

第二：迭代递推： 直接自底向上  优势 效率高   劣势：不好想

 

5、写动态规划算法，最重要的是要找到动态规划递推式

 

 

0-1背包问题，如果有n个物品，它们的重量分别为w1，w2......wn，价值分别为v1，v2....vn，现有一个负重为k的背包，要求选择物品装入背包，

                     使背包中物体总价值最大。

 

1、背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }//前者表示放入第i件物品(如果超出重量价值为0)  后者表示不放入第i件物品，在假                                                                                                                      设前面已经是最优解的情况下，放不放第i件不影响前面作出的决策

 

 

/*** 
c[i][w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优解的总价值，大小为(n+1)*(w+1) 
v[i]表示第i个物品的价值，大小为n 
w[i]表示第i个物品的重量，大小为n 
***/  
  
void DP(int n, int W, int c[][18], int *v, int *wei)  
{  
    memset(*c, 0, (W+1)*sizeof(int));  
    for (int i = 1; i <= n; i++)  
    {  
        c[i][0] = 0;  
        for (int w = 1; w <= W; w++)  i个物体时，在不同w下的最优解
        {  
            if (wei[i-1] > w)    //此处比较是关键  
            {  
                c[i][w] = c[i-1][w];  
            }  
            else  
            {  
                int temp = c[i-1][w-wei[i-1]] + v[i-1]; //注意wei和v数组中的第i个应该为wei[i-1]和v[i-1]  
                if (c[i-1][w] > temp)  
                {  
                    c[i][w] = c[i-1][w];  
                }  
                else   
                    c[i][w] = temp;  
            }  
        }  
    }  
}  
  
void findPath(int c[][18], int *x, int *wei, int n, int W)  
{     
    int w = W;  
    for (int i = n; i >= 2; i--)  
    {  
        if (c[i][w] == c[i-1][w])  
        {  
            x[i-1] = 0;  
        }  
        else  
        {  
            x[i-1] = 1;  
            w = w - wei[i-1];  
        }  
    }  
    if (c[1][w] == 0)  
        x[0] = 0;  
    else  
        x[0] = 1;  
}  

 

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？