第二次作业

一、找第k小的数的分治算法（自然语言+伪代码描述）

该算法核心是模仿快速排序的“分区”思想：通过选一个“基准数”将数组分成两部分，再根据基准数的位置判断第k小数在左半区还是右半区，递归缩小范围直到找到目标。

1. 自然语言描述

1. 终止条件：若待查找的子数组只有1个元素，直接返回该元素（它就是第k小的数）。
2. 分区操作：

• 从子数组中选一个基准数（如最后一个元素）；
• 遍历子数组，将比基准数小的元素放到左半区，比基准数大的放到右半区，基准数最终落在“分界位置pos”（左半区有pos个元素，基准数是第pos+1小的数）。
  3. 递归缩小范围：
• 若k = pos+1：基准数就是第k小数，直接返回；
• 若k < pos+1：第k小数在左半区，递归处理左半区；
• 若k > pos+1：第k小数在右半区，递归处理右半区（此时需将k更新为k-(pos+1)，因为左半区+基准数已有pos+1个元素）。

2. 伪代码描述

plaintext

Function findKthSmallest(arr, left, right, k):
// arr：待查找数组；left/right：子数组的左右边界；k：目标第k小（1<=k<=right-left+1）
if left == right:
return arr[left] // 子数组只有1个元素，直接返回

// 分区：返回基准数的最终位置pos（左半区元素个数为pos-left）
pos = partition(arr, left, right)
// 计算基准数是当前子数组的第m小（m = 左半区元素数 + 1）
m = pos - left + 1

if k == m:
    return arr[pos]  // 基准数就是第k小
elif k < m:
    // 第k小在左半区，递归处理左半区
    return findKthSmallest(arr, left, pos-1, k)
else:
    // 第k小在右半区，递归处理右半区（更新k为k-m）
    return findKthSmallest(arr, pos+1, right, k - m)

-m 分区辅助函数：选arr[right]为基准，返回基准最终位置
Function partition(arr, left, right):
pivot = arr[right] // 基准数（选最后一个元素）
i = left - 1 // i是左半区的“最后一个元素索引”，初始为空

for j from left to right-1:
    if arr[j] <= pivot:  // 比基准小，加入左半区
        i = i + 1
        swap arr[i] and arr[j]

// 把基准数放到左半区和右半区的分界处
swap arr[i+1] and arr[right]
return i + 1  // 返回基准数的位置

二、算法的时间复杂度分析

时间复杂度的关键是分区操作的效率：每次分区需遍历当前子数组（时间O(n)），递归次数取决于“基准数是否能均匀划分数组”。

1. 最好时间复杂度：O(n)

• 条件：每次分区的基准数恰好是当前子数组的“中间值”，能将数组均匀分成两半（左、右半区元素个数接近）。
• 分析：递归深度为O(log n)（类似二分查找），每次递归处理的子数组长度依次为n、n/2、n/4...1，总时间为O(n + n/2 + n/4 + ... + 1) = O(n)（等比数列求和，和为2n-1，忽略常数项）。

2. 最坏时间复杂度：O(n²)

• 条件：每次分区的基准数是当前子数组的“最值”（如数组已升序，选最后一个元素为基准，左半区是整个数组，右半区为空），数组被分成“1个大区间+1个空区间”。
• 分析：递归深度为O(n)（每次只缩小1个元素的范围），每次递归处理的子数组长度依次为n、n-1、n-2...1，总时间为O(n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = O(n²)（等差数列求和，和为n(n+1)/2）。

三、对分治法的体会和思考

分治法的核心思想是“分而治之”：将复杂问题拆解成多个“规模更小、结构相同”的子问题，递归解决子问题后，合并结果得到原问题答案。结合找第k小数的算法，可总结出3点关键体会：

1. 分治法的“有效性”依赖“问题可拆分+子问题可递归”

• 找第k小数能拆分的关键：通过“分区”将“找整个数组的第k小”转化为“找左/右半区的第k小”，子问题与原问题的逻辑完全一致，无需额外设计新逻辑；
• 反之，若问题无法拆成“同结构子问题”（如判断一个数是否为质数），分治法的优势就无法体现。

2. “拆分策略”直接决定算法效率，需避免“极端拆分”

• 找第k小数的最坏复杂度（O(n²)），本质是“拆分策略不佳”（选最值为基准）；实际应用中，可通过“随机选基准”或“三数取中（选左、中、右三个数的中位数为基准）”优化，将最坏情况概率降到极低，接近最好复杂度O(n)；
• 这说明分治法的效率不是固定的，好的拆分策略能让算法从“低效”变“高效”，是设计分治算法的核心。

3. 分治法常与“递归”绑定，但需警惕“递归深度”和“额外空间”

• 递归是实现分治法的简洁方式，但像找第k小数的最坏情况（递归深度O(n)），可能触发“栈溢出”；此时可将递归改为迭代（手动用栈管理子问题），避免栈溢出；
• 此外，分治法的“合并步骤”可能产生额外空间（如归并排序需O(n)临时数组），而找第k小数因无需合并（直接通过基准位置缩小范围），额外空间仅为递归栈的O(log n)（最好情况），体现了“分治法的空间复杂度与是否需要合并密切相关”。

综上，分治法是解决“大规模复杂问题”的高效工具，但需结合问题特性设计“合理的拆分策略”，并平衡好递归深度与空间开销，才能最大化其优势。