求Fibonacci数的几种方法

先给出Fibonacci的定义：

简单地总结了下，至少有5中方法来求Fibonacci(n)。

1. 直接带公式
2. 简单递归
3. 循环
4. 改进的递归
5. 使用矩阵

这里主要介绍下如何用矩阵来求F(n)。

 直接公式

简单递归

int Fibonacci(int n) { if (1 >= n) return n; else return Fibonacci(n – 1) + Fibonacci(n – 2); }

循环

int Fibonacci(int n) { int fib_n1 = 0, fib_n2 = 1; int fib_n; if (n <= 1) return n; for (int i = 2; i <= n; ++i) { fib_n = fib_n1 + fib_n2; fib_n1 = fib_n2; fib_n2 = fib_n; } return fib_n; }

改进的递归

vector<int> fibonacci; int Fibonacci(int n) { if (1 >= n) return n; if (fibonacci.size() < n+1) fibonacci.resize(n+1, 0); if (0 == fibonacci[n]) { if (0 == fibonacci[n-1]) fibonacci[n-1] = Fibonacci(n-1); fibonacci[n] = fibonacci[n - 1] + fibonacci[n - 2]; } return fibonacci[n]; }  

使用矩阵

首先，我们要构造出一个合适的矩阵运算式。下面是其中一种选择方案：

很显然，这是一个递归定义式。我们可以进一步进行转化。

我们可以看到，F(n)事实上就等于上述公式中第二个矩阵n-1次幂后下标为(0,0)的元素值。现在的问题转化到如何快速地求解矩阵的幂运算。可以参考之前的一篇Blog：Exponentiation 的 O(logn) 算法。那么我们可以设计一个快速的矩阵幂运算实现方式。

void Power(int base[][2], unsigned exponent, int res[][2]) { int tempBase[2][2]; memcpy(tempBase, base, sizeof(tempBase)); int e[2][2] = {{1, 0},{0, 1}}; while (exponent) { while (!(exponent & 1)) { Square(tempBase); exponent >>= 1; } --exponent; Product(e, tempBase); } memcpy(res, e, sizeof(e)); }  

其中的Square和Product函数很好实现。那么，求解斐波那契的矩阵实现可以写成：

int Fibonacci(int n) { if (1 >= n) return n; int baseCoefficient[2][2] = {{1, 1}, {1, 0}}; int finalCoefficient[2][2]; Power(baseCoefficient, n - 1, finalCoefficient); return finalCoefficient[0][0]; }

关于上面介绍的矩阵运算，可以很好的运用到HDU1005和ZJUT1026。参考解答可以在HDU1005和ZJUT1026找到。