POJ - 2480 Longge's problem

Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 

"Oh, I know, I know!" Longge shouts! But do you know? Please solve it. 

Input

Input contain several test case. 
A number N per line. 

Output

For each N, output ,∑gcd(i, N) 1<=i <=N, a line

Sample Input

2
6

Sample Output

3
15

题意：∑gcd(i, N) 1<=i <=N，就这个公式，给你一个n，让你求sum=gcd(1,n)+gcd(2,n)+gcd(3,n)+…………gcd(n-1,n)+gcd(n,n),（1<=n<2^31）是多少？

 

欧拉函数

转https://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4755455.html

在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。

     φ函数的值：

    φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x

的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

     例如:

         φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

         1 3 7 9

         φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;

         φ(49)=49×(1-1/7)=42;

欧拉函数的性质：

(1)   p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

 

同余定理：

     如果 a mod b = c 则有(a+kb) mod b =c(k为非0整数)

     如果 a mod b = c 则有(ka) mod b =kc (k为正整数)

     (a+b) mod c =((a mod c)+(b mod c )) mod c;

     (a*b) mod c=((a mod c)*(b mod c)) mod c

 

 

phi(n/i)则为和n最大公约数为i的个数 
素数p的欧拉函数值为p-1；

 

欧拉函数模板

int phi(int n)//直接求 
{
    int t=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            t=t/i*(i-1);
            
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) t=t/n*(n-1);
    return t;
}
int p[1000001];
void init()//打表 
{
    memset(p,0,sizeof(p));
    p[1]=1;
    for(int i=2;i<1000000;i++)
    {
        if(p[i]==0)
        {
            for(int j=i;j<1000000;j+=i)
            {
                if(p[j]==0)
                p[j]=j;
                
                p[j]=p[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

题解

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll phi(int n)
{
    ll res=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res=res/n*(n-1);
    return res;
 } 
 int main()
{
    ll n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        ll ans=0;
        for(ll i=1;i*i<=n;i++)//这里是循环了logn
        {
            if(n%i==0)
            {
                ans+=i*phi(n/i);//phi(n/i)则为和n最大公约数为i的个数 
                if(i*i!=n)//让其不重复
                {
                    ans+=n/i*phi(i);//和n最大公约数为n/i的个数
                }
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}