法雷级数

法雷级数定义　　R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书，介绍了法雷级数。这里每一行从0/1开始，以1/1结尾，其它数自左至右将所有的真分数按增加顺序排列；第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成，我们称为n阶法雷级数。如下表：

　　F1： 0/1 1/1

　　F2： 0/1 1/2 1/1

　　F3： 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1

　　F4： 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1

　　F5： 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

　　F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

　　…… ………………………………

　　这里我们想问的是第n行Fn的真分数的个数有多少个呢？

　　我们设Fn的个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n，分子比n小且与n互质的数的个数，这正是欧拉函数φ（n）。即

　　ψ(n)=ψ(n-1)+ φ（n）

　　ψ（1）=1+φ（1）

　　ψ（2）=ψ（1）+φ（2）

　　ψ（3）=ψ（2）+φ（3）

　　………………

　　ψ(n)= ψ(n-1)+ φ（n）

　　所以 ψ(n)=1+φ（1）+φ（2）+φ（3）+……+φ（n）很容易证明，当n≥3时，欧拉函数φ（n）是个偶数。由此我们得到除ψ（1）=2是偶数外，法雷级数其它各级的个数都是奇数，并且许多是素数。ψ（1）=2，ψ（2）=3，ψ（3）=5，ψ（4）=7，ψ（5）=11，ψ（6）=13，ψ（7）=19，ψ（8）=23，ψ（9）=29，……。

性质

　　法雷级数Fn具有很多美妙的性质，下面是一些常见的性质：

　　1.如果a/b,c/d是相邻的两项，则abs（a*d-b*c）=1。

　　2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项，则 (a+e)/(b+f)=c/d，特别的，如果c/d是新添加的，即c/d不属于F（n-1），则c=a+e；d=b+f。

　　性质2对于这个问题至关重要，它的证明可以参见哈代(Hardy)写的数论导引第三章

　　关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道，丛F（n−1）到F（n）的构造过程中，F（n）的新项的分母一定是其相领两项的分母和。另一方面，如果F（n−1）中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F（n）中。

题目：poj3090

链接：http://poj.org/problem?id=3090

题意：一个(n+1)*(n+1)的点阵，问多少点能被点(0,0)看到。如果(0,0)到(i,j)的连线被点挡住就算看不到。

用数组ans[i]记录(i+1)*(i+1)的点阵可以看到的点数，则x=y=i的点肯定不能看到，考虑x>y的情况，很容易发现规律：点(x,y)能被发现只有当gcd(x,y)=1时，否则会被点

(x/gcd(x,y),y/gcd(x,y))挡住，然后只需要计算i的欧拉函数值，即点(i,i)的下方有多少点满足条件，再加上x<y的情况(对称的)，所以ans[i]=ans[i-1]+2*phi[i]。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
int a[maxn];
int euler(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
    {
        ans=ans/i*(i-1);
        while(n%i==0)   n/=i;
    }
    if(n>1)   ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        int n;
        cin>>n;
        memset(a,0,sizeof(a));
        a[1]=3;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        a[i]=a[i-1]+euler(i)*2;
        cout<<cas<<" "<<n<<" "<<a[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
int phi[maxn];
void phi_table(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!phi[i])
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
        {
            if(!phi[j])
                phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    phi_table(1000);
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        int n;
        cin>>n;
        phi[1]=3;
        long long ans=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            ans+=2*phi[i];
        cout<<cas<<" "<<n<<" "<<ans+3<<endl;
    }
    return 0;
}