图像傅里叶变换原理 python实现

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一. 傅里叶变换简介:

        在数字图像处理中,有两个经典的变换被广泛使用——傅里叶变换和霍夫变换。傅里叶变换是将时间域上的信号转变为频率域上的信号,进而进行图像去噪、图像增强等处理。

        傅里叶变换(Fourier Transform,FT)后,对同一事物的观看角度随之改变,可以从频域里发现一些从时域里不易察觉的特征。某些在时域内不好处理的地方,在频域内可以容易地处理。

        傅里叶定理:“ 任何连续周期信号都可以表示成(或者无限逼近)一系列正弦信号的叠加。”

        一维傅里叶公式如下:


w 表示频率, t 表示时间, 它将频率域的函数表示为时间域函数 f(t)的积分 ↑  
 

        我们知道,灰度图像是由二维的离散的点构成的。二维离散傅里叶变换(Two-Dimensional Discrete Fourier Transform)常用于图像处理中,对图像进行傅里叶变换后得到其频谱图。频谱图中频率高低表征图像中灰度变化的剧烈程度。图像中边缘和噪声往往是高频信号,而图像背景往往是低频信号。我们在频率域内可以很方便地对图像的高频或低频信息进行操作,完成图像去噪,图像增强,图像边缘提取等操作。

        对二维图像进行傅里叶变换用如下式子进行:


图像长M,高N。F(u,v)表示频域图像,f(x,y)表示时域图像。u的范围为[0,M-1],v的范围为[0,N-1]  ↑
 

        对二维图像进行傅里叶逆变换式子如下:


图像长M,高N。f(x,y)表示时域图像, F(u,v)表示频域图像。x的范围为[0,M-1],y的范围为[0,N-1]  ↑
 

二. python实现二维图像的傅里叶变换原理

 1 import cv2
 2 import numpy as np
 3 
 4 # DFT
 5 def dft(img):
 6     H, W, channel = img.shape
 7 
 8     # Prepare DFT coefficient
 9     G = np.zeros((H, W, channel), dtype=np.complex)
10     # prepare processed index corresponding to original image positions
11     x = np.tile(np.arange(W), (H, 1))
12     y = np.arange(H).repeat(W).reshape(H, -1)
13 
14     # dft
15     for c in range(channel):
16         for v in range(H):
17             for u in range(W):
18                 G[v, u, c] = np.sum(img[..., c] * np.exp(-2j * np.pi * (x * u / W + y * v / H))) / np.sqrt(H * W)
19 
20     return G
21 
22 # IDFT
23 def idft(G):
24     # prepare out image
25     H, W, channel = G.shape
26     out = np.zeros((H, W, channel), dtype=np.float32)
27 
28     # prepare processed index corresponding to original image positions
29     x = np.tile(np.arange(W), (H, 1))
30     y = np.arange(H).repeat(W).reshape(H, -1)
31 
32     # idft
33     for c in range(channel):
34         for v in range(H):
35             for u in range(W):
36                 out[v, u, c] = np.abs(np.sum(G[..., c] * np.exp(2j * np.pi * (x * u / W + y * v / H)))) / np.sqrt(W * H)
37 
38     # clipping
39     out = np.clip(out, 0, 255)
40     out = out.astype(np.uint8)
41 
42     return out
43 
44 
45 # Read image
46 img = cv2.imread("../head.png").astype(np.float32)
47 
48 # DFT
49 G = dft(img)
50 
51 # write poser spectal to image
52 ps = (np.abs(G) / np.abs(G).max() * 255).astype(np.uint8)
53 cv2.imwrite("out_ps.jpg", ps)
54 
55 # IDFT
56 out = idft(G)
57 
58 # Save result
59 cv2.imshow("result", out)
60 cv2.imwrite("out.jpg", out)
61 cv2.waitKey(0)
62 cv2.destroyAllWindows()

 


三. 实验结果:


原图 ↑
 

经过傅里叶变换、反变换后的图像 ↑
 

四. C语言实现图像傅里叶变换:

  1 // 傅里叶变换
  2 
  3 void fre_spectrum(short **in_array, short **out_array, long height, long width)
  4 
  5 {
  6 
  7     double re, im, temp;
  8 
  9     int move;
 10 
 11     for (int i = 0; i < height; i++){
 12 
 13         for (int j = 0; j < width; j++){
 14 
 15             re = 0;
 16 
 17             im = 0;
 18 
 19             for (int x = 0; x < height; x++){
 20 
 21                 for (int y = 0; y < width; y++){
 22 
 23                     temp = (double)i * x / (double)height +
 24 
 25                           (double)j * y / (double)width;
 26 
 27                     move = (x + y) % 2 == 0 ? 1 : -1;
 28 
 29                     re += in_array[x][y] * cos(-2 * pi * temp) * move;
 30 
 31                     im += in_array[x][y] * sin(-2 * pi * temp) * move;
 32 
 33                 }
 34 
 35             }
 36 
 37  
 38 
 39             out_array[i][j] = (short)(sqrt(re*re + im*im) / sqrt(width*height));
 40 
 41             if (out_array[i][j] > 0xff)
 42 
 43                 out_array[i][j] = 0xff;
 44 
 45             else if (out_array[i][j] < 0)
 46 
 47                 out_array[i][j] = 0;
 48 
 49            }
 50 
 51     }
 52 
 53 }
 54 
 55 // 傅里叶反变换
 56 
 57 void idft(double** re_array, double** im_array, short** out_array, long height, long width)
 58 
 59 {
 60 
 61     double real, temp;
 62 
 63     for (int i = 0; i < height; i++){
 64 
 65         for (int j = 0; j < width; j++){
 66 
 67             real = 0;
 68 
 69             for (int x = 0; x < height; x++){
 70 
 71                 for (int y = 0; y < width; y++){
 72 
 73                     temp = (double)i * x / (double)height +
 74 
 75                           (double)j * y / (double)width;
 76 
 77                     real += re_array[x][y] * cos(2 * pi * temp) -
 78 
 79                             im_array[x][y] * sin(2 * pi * temp);
 80 
 81                 }
 82 
 83             }
 84 
 85  
 86 
 87             out_array[i][j] = (short)(real / sqrt(width*height));
 88 
 89             if (out_array[i][j] > 0xff)
 90 
 91                 out_array[i][j] = 0xff;
 92 
 93             else if (out_array[i][j] < 0)
 94 
 95                 out_array[i][j] = 0;
 96 
 97         }
 98 
 99     }
100 
101     printf("idft done\n");
102 
103 }

 


五. 参考内容:

   https://www.jianshu.com/p/835a7a68d0ee

 


六. 版权声明:

    未经作者允许,请勿随意转载抄袭,抄袭情节严重者,作者将考虑追究其法律责任,创作不易,感谢您的理解和配合!

posted on 2020-03-20 09:53  我坚信阳光灿烂  阅读(7987)  评论(0编辑  收藏  举报

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