[wikioi1553]互斥的数（数学分析+散列/数学分析+二分）

题目描述 Description

有这样的一个集合，集合中的元素个数由给定的N决定，集合的元素为N个不同的正整数，一旦集合中的两个数x,y满足y = P*x，那么就认为x,y这两个数是互斥的，现在想知道给定的一个集合的最大子集满足两两之间不互斥。

输入描述 Input Description

输入有多组数据，每组第一行给定两个数N和P（1<=N<=10^5, 1<=P<=10^9）。接下来一行包含N个不同正整数ai（1<=ai<=10^9）。

输出描述 Output Description

输出一行表示最大的满足要求的子集的元素个数。

样例输入 Sample Input

4 2

1 2 3 4

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

分析：

我们先通过特殊情况找找规律，如P=2时候（我们假设初始集合足够大）

2->2*2->2*2*2->2*2*2*2->……

3->3*2->3*2*2->3*2*2*2->……

5->5*2->5*2*2->5*2*2*2->……

……

从上面的我们可以看出a*p^(b-1)影响a*p^b（如果存在），而a*p^b影响a*p^(b+1)……，我们假设这样的序列叫做“影响序列”

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特别注意：

①影响序列中P的次数是连续的

如原数组是6 12 24 96，p=2

则原数组有2个影响序列：（6,12,24）和（96），因为中间缺少了48所以第一个影响序列与第二个影响序列不能合并

②影响序列是完整的

如6 12 24 96,p=2

不能说原数组有3个影响序列（6,12）（24）（96）或(6)(12,24)(96)，因为前面两个影响序列可以合并成一个更完整的

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易得出关于 影响序列 的一些性质：

① 任何一个数组都可以分成若干个 影响序列（特别的影响序列只有一个元素）且不同的影响序列互不影响，即一个影响序列中元素的取舍与另个影响序列元素取舍中互不影响（类比将置换群分成若干个轮换）

② 一个影响序列中的元素对应的P对应的次方是严格递增且连续的，如p=2，底数a=3时，6,12,24是一个影响序列，他们是3*2^1,3*2^2,3*2^3，P上面的次数是1,2,3是连续且严格递增的

③ 由②易得如果一个影响序列在中间的某处断掉了，相当于将这个影响序列变成左右两边两个独立的影响序列，两者互不影响

 

接下来分析题目：

由性质①我们可以将原数组化成若干个影响序列单独处理（化归思想），于是下面我们考虑如何才处理单独的一个影响序列

让我们来明确一下我们想把一个影响序列处理成什么样子：由题意我们应该是要将这个影响序列中删除最少的数使得这个影响序列中剩余的数互不影响，而由性质①和③我们可以知道不同的影响序列互补影响，且删除一个数相当于把影响序列分裂成两个！！！！，即我们的目标是这个影响序列分裂成尽可能多的单元素影响序列！！！

我们发现我们无论采取怎样的分裂方案，始终是一种分治的思想，到最后，把一个影响序列分成若干个两元素影响序列，然后删除每个其中的一个数就完成了，从宏观来看，也就是说我们对于元素个数为n的影响序列我们采取n/2（向下取整）次删除，也就是删了这么多数。于是我们有一个很重要结论——————————————  一个n元素影响序列，我们应最少删除n/2（向下取整）个数

 

 

好了现在题目就明朗了，我们只要找出对应的每个影响序列就行了,鉴于题目的数据范围很大，我们可以用散列表来表示数组中的每个数，然后对于读入的一个数x，将x加入到x*p的集合中，并给对应的集合个数+1（类似于并查集）

或者还有一种做法就是二分：

先把读入的数组ai排序 计数器初值为n

然后从第一个往后扫，发现ai*p也在集合（二分查找）中就删掉它（打个标记），计数器减一

最后输出~~

在纸上划一划就发现这样的实质也就是将影响序列中连续2个元素中删掉一个，所以是对的。