[时间序列分析][5]--非平稳时间序列模型与差分

非平稳时间序列模型

通过差分平稳化

差分是什么

  1. 由Cramer分解定理 : 时间序列 = 确定性影响 + 随机性影响 , 而确定性影响又可以由多项式决定 , 而对多项式求n次差分 , 既能变成常数
  2. 差分在连续情况下可以理解为导数
    下面我们来看一个例子
f[x_] := x^2 + 3*x + 3;
data = Table[f[i], {i, 0, 10, .1}];
(*原始图像*)
ListPlot[data, AxesOrigin -> {0, 0}, PlotLabel -> "原始图像"]
(*进行第一次差分*)
temp = Differences[data];
(*第一次差分后的图像*)
ListPlot[temp, PlotLabel -> "第一次差分"]
(*进行第二次差分*)
ListPlot[Differences[temp], PlotLabel -> "第二次差分"]

可以得到如下的图形

我们可以看到做两次差分后的图形是一条直线，即可以将非平稳的时间序列变成平稳的。我们后面会举一个更好的例子，这个例子先让大家看一下差分是什么，差分和求导的联系。

是否要做差分–单位根检验

单位根检验原理 : 对时间序列 data 执行假设检验，其中零假设 Subscript[H, 0] 为满足 AR 模型的时间序列在相应的传递函数的分母中有一个单位根，而置换假设 Subscript[H, a] 则相反.

在 mathematica的函数为 UnitRootTest

该函数返回的是p-value , 若p-value越小，则越拒绝原假设，即p-value越小，越不需要进行差分

做多少次差分

  1. v足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息
  2. v但过度的差分会造成有用信息的浪费

一个例子

我们看一个实际的例子
- 首先通过累加生成一组随机数

sample = RandomFunction[ARIMAProcess[{-.1}, 2, {.2}, .1], {1, 20^2}];
temp = sample[[2]][[1, 1]];
ListPlot[sample]

  • 单位根检验– 判断是否要做差分
UnitRootTest[temp, Automatic, "HypothesisTestData"]["TestDataTable"]


可以看到p值很大，即我们需要做差分。

  • 第一次差分
ListPlot@Differences[temp]

做完一次差分后数据还是非平稳的
- 第二次差分

ListPlot@Differences[temp, 2]

可以看到再做了两次差分之后，数据就已经把趋势去掉了，就可以用做完差分后的数据去做分析了

  • 再次做单位根检验
UnitRootTest[Differences[temp, 2], Automatic, "HypothesisTestData"]["TestDataTable"]

可以看到做完两次差分后再做单位根检验p值就很小了，即不需要再做单位根检验了。

ARIMA模型

现在我们有了差分这个工具，于是我们继续优化我们之前的ARMA模型，改进后的模型称为ARIMA模型。

ARIMA(p,d,q)–p表示自回归(AR)的系数，d表示差分的阶数，q表示滑动平均(MA)的系数

在mathematica中，我们可以直接调用ARIMA来拟合数据。

随机游动

讲一个和这个有点关系的，又挺有意思的一个问题。

模型产生典故
§Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？

  • 首先生成一组随机游走的数据
data = Accumulate[RandomReal[{-1, 1}, 100]];
ListLinePlot[data]

  • 对数据进行一阶差分
ListLinePlot[Differences[data]]

可以看到做完一阶差分之后数据就已经平稳了。于是我们想到了对差分后的数据检验一下是否是白噪声。我们知道，这些数据是随机生成的，那么检验出来的结果应该就是白噪声。我们下面看一下是不是白噪声。

  • 白噪声检验
ListPlot[Table[AutocorrelationTest[Differences[data], i], {i, 1, 10}], Filling -> Axis]

从图中，我们可以看到p值较大，则数据是白噪声。(p值已经大于.5了)

  • 最后我们解决一下上面的问题，在哪里找到醉汉的概率最大。我们采取模拟的办法，模拟1000次，统计醉汉第100步的位置。
Histogram@Table[Total[RandomReal[{-1, 1}, {100}]], {1000}]

得到下面的图像

我们可以看到还是在零点附近找到醉汉的概率最大。大家可以推导一下具体的概率的表达式。

疏系数模型–中间有项可以是0

什么是疏系数模型

  1. ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数
  2. 如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。

如何判断是疏系数模型

我们可以通过自相关图和偏自相关图来判别是否是稀疏模型
我们来看下面的一个例子，下面是数据–1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列

  • 数据
{{1917., 183.1}, {1918., 183.9}, {1919., 163.1}, {1920., 
  179.5}, {1921., 181.4}, {1922., 173.4}, {1923., 167.6}, {1924., 
  177.4}, {1925., 171.7}, {1926., 170.1}, {1927., 163.7}, {1928., 
  151.9}, {1929., 145.4}, {1930., 145.}, {1931., 138.9}, {1932., 
  131.5}, {1933., 125.7}, {1934., 129.5}, {1935., 129.6}, {1936., 
  129.5}, {1937., 132.2}, {1938., 134.1}, {1939., 132.1}, {1940., 
  137.4}, {1941., 148.1}, {1942., 174.1}, {1943., 174.7}, {1944., 
  156.7}, {1945., 143.3}, {1946., 189.7}, {1947., 212.}, {1948., 
  200.4}, {1949., 201.8}, {1950., 200.7}, {1951., 215.6}, {1952., 
  222.5}, {1953., 231.5}, {1954., 237.9}, {1955., 244.}, {1956., 
  259.4}, {1957., 268.8}, {1958., 264.3}, {1959., 264.5}, {1960., 
  268.1}, {1961., 264.}, {1962., 252.8}, {1963., 240.}, {1964., 
  229.1}, {1965., 204.8}, {1966., 193.3}, {1967., 179.}, {1968., 
  178.1}, {1969., 181.1}, {1970., 165.6}, {1971., 159.8}, {1972., 
  136.1}, {1973., 126.3}, {1974., 123.3}, {1975., 118.5}}

我们看一下时序图


可以看到数据不是平稳的，我们做一下单位根检验
- 单位根检验

可以看到p值>0.5，而且从图上看也不平稳，故做一阶差分。

  • 做一阶差分
ListLinePlot[Differences[data[[All, 2]]], PlotMarkers -> {"\[FilledDiamond]", 7}]

对做了差分后的数据做单位根检验

可以看到p值为10^-6次方，故不需要再做差分

  • 求自相关图和偏自相关图


我们可以从自相关图和偏自相关图中看出疏系数模型。如在这里，模型为ARIMA ((1, 4, 5), 1, 0)，从自相关图中可以看出滞后1，4，5比较大，则第一第二个自相关系数为0。其余同理。

2017/4/22

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AR模型的定义
谢谢大家支持

posted on 2017-04-23 11:20  WMN7Q  阅读(2528)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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