简单数论（六）----------杜教筛

简单数论（六）----------杜教筛

Part I 用途

有的时候，我们需要求一些积性函数的前缀和，而且需要在低于线性时间复杂度内完成，这时就可以用到杜教筛啦

其实不是积性函数也可以但是要可以在接近线性的时间内求出来

Part II 杜教筛基础

假设我们要求积性函数f(n)的前缀和 $s(n)=\sum_{i=1}^{n}\ f(n)$

如果n够小我们可以考虑线性筛，但当n的范围为1e9呢

那杜教筛就光荣登场了

我们考虑在找到一个积性函数g

把f*g的前缀和算出来有 $ \sum _{i=1}^{n}(f*g)(i)= \sum _{i=1}^{n} \sum_{d|i}\ f(\frac{i}{d})g(d) $

可以发现这个式子等于 $  \sum_{d=1}^{n} g(d)s(\left \lfloor  \frac{n}{d} \right \rfloor) $

其实上面的看不懂无所谓

其实只需要记住把我们要求的式子提出后的式子

即提出g(1)s(n)

此时有 $ g(1)s(n)=  \sum _{i=1}^{n}(f*g)(i) -  \sum_{d=2}^{n} g(d)s(\left \lfloor  \frac{n}{d} \right \rfloor) $

当 $ m=n^{\frac{2}{3}}  $ 时最优 复杂度为 O($n^{\frac{2}{3}} $)

当然如果是多组数据还是能多处理就多处理吧

一般情况下会用到的辅助的积性函数

1. g(n)=1 

2.g(n) = n

 Part III 例子

 求 $ \sum _{i=1}^{n} \mu(i) $ 

 构造g(n) = 1, 设f*g=h

 有h(n)=[n=1]

 故 s(n) = $ \sum _{i=1}^{n}(f*g)(i) -  \sum_{d=2}^{n} s(\left \lfloor  \frac{n}{d} \right \rfloor) $

 显然 $ \sum _{i=1}^{n}(f*g)(i) $ =1

 故s(n) =$ 1 -  \sum_{d=2}^{n} s(\left \lfloor  \frac{n}{d} \right \rfloor) $

 整除分块+记忆化搜索即可

 代码是洛谷模板的代码多了一个求欧拉函数的代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define R register 

const int MAXN = 7000000 + 10;

inline int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ch;
    do
    {
        ch=getchar();
        if(ch=='-') f=-1;
    }while(ch<'0'||ch>'9');
    do
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }while(ch>='0'&&ch<='9');
    return f*x;
} 

long long t;
int n;
unsigned long long phi[MAXN];
int mu[MAXN];
int prime[MAXN],prime_cnt;
bool notprime[MAXN];
map<long long ,long long > w2;
map<unsigned long long ,long long >w1;

inline void init()
{
    phi[1]=1;notprime[1]=1;mu[1]=1;
    for(R int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(notprime[i]==0){
            ++prime_cnt;
            prime[prime_cnt]=i;
            phi[i]=i-1;mu[i]=-1;
        } 
        for(R int j=1;j<=prime_cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>MAXN)
            {
                break;
            }
            notprime[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    for(R int i=2;i<=MAXN;i++) mu[i]+=mu[i-1];
    for(R int i=2;i<=MAXN;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}

inline unsigned long long djs_phi(long long x)
{
    if(x<=MAXN) return phi[x];
    if(w1[x]) return w1[x];
    long long sum=x*(x+1)/2;
    for(R int l=2,r;l<=x;l=r+1)
    {
        r=(x/(x/l));
        sum-=(r-l+1)*djs_phi(x/l);
    }
    return w1[x]=sum;
}

inline long long djs_mu(long long x)
{
    if(x<=MAXN) return mu[x];
    if(w2[x]) return w2[x];
    unsigned long long sum=1;
    for(R unsigned long long l=2,r;l<=x;l=r+1)
    {
        r=(x/(x/l));
        sum-=(r-l+1)*djs_mu(x/l);
    }
    return w2[x]=sum;
}

int main()
{
    init();
    int t=read();
    while(t--)
    {
        int n=read();
        printf("%lld %lld\n",djs_phi(n),djs_mu(n));
    }
}