洛谷月赛泛做

LGR081 洛谷 1 月月赛

\(T1,T2,T3,T4,T6\) 较简单（场切）。

T5 Chasse Neige

来自 \(kals\) 的题解，改动了几处描述。

先作一步转化：极大值个数等于极长上升子段(长度>=2)数。但排列的第一个位置和最后一个位置并不算极大值。

枚举第一个和最后一个子段的单调性：

\(f_{n,k}\) 表示长度为 \(n\) 满足 \(a_1<a_2,a_{n-1}>a_{n}\) 且有 \(k\) 个极大值的排列个数；

\(g_{n,k}\) 表示长度为 \(n\) 满足 \(a_1>a_2,a_{n-1}>a_{n}\) 且有 \(k\) 个极大值的排列个数；

\(g'_{n,k}\) 表示长度为 \(n\) 满足 \(a_1<a_2,a_{n-1}<a_{n}\) 且有 \(k\) 个极大值的排列个数；

\(h_{n,k}\) 表示长度为 \(n\) 满足 \(a_1>a_2,a_{n-1}<a_{n}\) 且有 \(k\) 个极大值的排列个数；

显然有 \(g_{n,k}=g'_{n,k},f_{n,k+1}=h_{n,k}\) 。

考虑如何转移，新加入一个数 \(n\) :

\[\begin{cases}f_{i,j}=2jf_{i-1,j}+(i-2-2(j-1))f_{i-1,j-1}+g_{i-1,j-1}+g'_{i-1,j-1} \\ g_{i,j}=2jg_{i-1,j}+(i-3-2(j-1))g_{i-1,j-1}+g_{i-1,j}+f_{i-1,j}+h_{i-1,j-1}\end{cases} \]

化简一下：

\[\begin{cases}f_{i,j}=2jf_{i-1,j}+(i-2j)f_{i-1,j-1}+2g_{i-1,j-1} \\ g_{i,j}=(2j+1)g_{i-1,j}+(i-2j-1)g_{i-1,j-1}+2f_{i-1,j}\end{cases} \]

发现两式是对称的，构造 \(dp_{i,2j}=f_{i,j},dp_{i,2j+1}=g_{i,j}\) ，则有:

\[dp_{i,j}=jdp_{i-1,j}+(i-j)dp_{i-1,j-2}+2dp_{i-1,j-1} \]

注意到 \(\max(1,\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor -10)\le k\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor\) ，求的值位于对角线附近。

考虑快速计算对角线上值的 \(dp\) ：

记 \(f_n\) 表示长度为 \(n\) 的排列中数字交错且 \(a_1<a_2,a_{n-1}>a_n\) 的排列数；

记 \(g_n\) 表示长度为 \(n\) 的排列中数字交错且 \(a_1>a_2,a_{n-1}>a_n\) 的排列数。

枚举 \(n\) 的位置，有：

\[\begin{cases}f_{n}=\sum\limits_{i\text{ is odd}}\binom{n-1}{i}f_{i}f_{n-1-i}\\g_n=\sum\limits_{i\text{ is even}}\binom{n-1}{i}g_{i}f_{n-1-i}\end{cases} \]

显然 \(f_n\) 在 \(n\) 为偶数时、\(g_n\) 在 \(n\) 为奇数时等于 \(0\) ，设 \(F(x),G(x)\) 为 \(f,g\) 的 \(\text{EGF}\) ，则：

\[F'(x)=F^2(x)+1,G'(x)=F(x)G(x) \]

\[F(x)=\tan x,G(x)=\sec x \]

因此 \(dp_{n,n-1}=[x^n]F(x)+[x^n]G(x)\) ，剩下的部分递推即可。

时间复杂度 \(O(nlogn+n(n-2k))\) 。

LGR080 洛谷 11 月月赛 II

\(T1,T2,T3,T4\) 较简单。

T6 青春有悔

设 \(F(x)=\sum\limits_{i}a_ix^i\) 表示答案的前缀和，则显然有

\[F(x)=\frac{1}{1-x}\prod\limits_{i=1}^{n}\frac {1-x^{a_i+1}}{1-x}=\left(\frac{1}{1-x}\right)^{n+1}\prod\limits_{i=1}^{n}(1-x^{a_i+1})\]

前半部分由二项式定理得：

\[\left(\frac{1}{1-x}\right)^{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\binom{n+i}{i}x^i \]

后半部分取个 \(ln\) ，由泰勒展开 \(ln(1+x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1}\frac{x^i}{i}\) 得：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}ln(1-x^{a_i+1})=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{\infty}-\frac{x^{(a_i+1)j}}{j} \]

用桶记录 \(cnt[i]\) 表示 \(a_j=i\) 的个数，可 \(O(nlnn)\) 复杂度求出系数，再 \(exp\) 回去即可。

现在得到了 \(F(x)\) ，反面考虑，求的即 \([x^y]\frac{1-x^{b+1}}{1-x^{a_p+1}}F(x)\) 。

将其拆开：

\[[x^y]\frac{1}{1-x^{a_p+1}}F(x)-[x^{y-b-1}]\frac{1}{1-x^{a_p+1}}F(x) \]

发现需要计算 \([x^y]\frac{1}{1-x^a}F(x)\) ，考虑根号分治：

• 若 \(a>\sqrt{n}\) ，则有系数的位置只有 \(<\sqrt{n}\) 个，暴力计算；

• 若 \(a\le \sqrt{n}\) ，预处理 \(g[a][y]\) 表示答案。

时间复杂度 \(O(nlogn+q\sqrt{n})\) 。

LGR077 洛谷 10 月月赛 I

\(T1,T2,T3,T4,T5\) 较简单。

\(T6\) 见 \(\text{Ynoi泛做}\) 。

LGR076 洛谷 9 月月赛 I

\(T1,T2,T3\) 较简单。

T4 线性生物

很巧妙的概率 \(dp\) ，定义 \(E_{x→y}\) 表示 \(x\) 到 \(y\) 的期望步数，答案即为 \(E_{1→n+1}\) 。

记 \(deg_x\) 表示 \(x\) 的返祖边个数，则：

\[E_{x→x+1}=\frac{1}{deg_x+1}+\frac{1}{deg_x+1}\sum_{(x,y)}(E_{y→x+1}+1) \]

由于每次生物只会从 \(x\) 走到 \(x+1\) 或返祖，故对于 \(1\le x\le y\le n+1\) ，有 \(E_{1→y}=E_{1→x}+E_{x→y}\) 。

\[E_{x→x+1}=\frac{1}{deg_x+1}+\frac{1}{deg_x+1}\sum_{(x,y)}(E_{1→x}+E_{x→x+1}-E_{1→y}+1) \]

\[E_{x→x+1}=1+\sum_{(x,y)}(E_{1→x}-E_{1→y}+1) \]

\[E_{1→x+1}=E_{1→x}+1+\sum_{(x,y)}(E_{1→x}-E_{1→y}+1) \]

直接递推 \(E_{1→x}\) 即可，时间复杂度 \(O(n)\) 。

LGR075 洛谷 8 月月赛 II

\(T1,T2,T3,T5\) 较简单，其中 \(T5\) 细节较多。

T4 四月樱花

注意到 \(y^{d(y)}=\prod_{z|y}y\) ，令 \(f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor \frac ni\rfloor\) ，则式子化简为：

\[\prod_{z=1}^{n}\left(\frac{z}{z+1}\right)^{2f(\lfloor \frac{n}{z}\rfloor )} \]

两层整除分块即可，时间复杂度 \(O(n^{3/4})\) 。

T6 寒妖王

• 简要题意

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条带权边，每条边有 \(\frac 12\) 概率存留，求期望最大边权和基环树森林的边权值。
\(1\le n\le 15,1\le m\le 60\)

• 简要思路

暴力类似 \(Kruskal\) ，边权从大到小依次取，复杂度 \(O(2^m poly(m))\) 。
转化下思路，考虑每条边在什么情况下不被选入基环树森林：（该边端点为 \(a,b\) ）

• \(a,b\) 连通，且连通块不为树；
• \(a,b\) 不连通，且 \(a,b\) 所在连通块均为基环树。

记 \(cnt[S]\) 表示点集为 \(S\) 的导出子图边数，可高维前缀和 \(O(n2^n)\) 计算。

第一类贡献，统计仅保留这些边时点集 \(S\) 的生成树数量，然后枚举子集 \(T\subseteq S\) ，发现一颗生成树会被计算 \(|S|-1\) 次，除掉即可做到 \(O(m3^n)\) 。

第二类贡献，等价于点集 \(A\) 和点集 \(B\) 满足 \(x\in A,y\in B\) 且 \(A\) 是连通图不是生成树， \(B\) 是连通图不是树。

枚举 \(A,B\) 的总量是 \(3^n\) 的，只需要预处理连通图计数，用容斥即可做到 \(O(3^n)\) 。

时间复杂度 \(O(m3^n)\) ，第一类部分需要适当卡常。

LGR074 洛谷 8 月月赛 I

\(T1,T2,T3,T5\) 较简单。

T4 Fallen Lord

定义 \(val(u,v)\) 表示 \(u\) 和 \(v\) 间的边权，考虑树形 \(dp\) 。

定义\(f[u][0/1]\) 表示 \(val(fa_u,u)\le a[u]\) 或 \(>a[u]\) 时的最大边权和（不考虑 \(val(fa_u,u)\) 这条边）；

定义\(g[u][0/1]\) 表示 \(val(fa_u,u)\le a[fa_u]\) 或 \(>a[fa_u]\) 时的最大边权和（考虑 \(val(fa_u,u)\) 这条边）。

考虑 \(f[u]\) ，不妨先设 \(val(u,v)\le a[u]\) ，则权值和为 \(\sum\limits_{v}g[v][0]\) 。由于只需要保证 \(\lfloor \frac{deg[u]}{2}\rfloor +1\) 个 \(\le a[u]\) 的即可，因此一些儿子可“升级”成 \(g[v][1]\) 。

按 \(g[v][1] - g[v][0]\) 从大到小排序，贪心取即可。

再考虑 \(g[u]\) ，分类讨论：

• \(a[u]\le a[fa_u]\) ，有：

\[g[u][0]=\max(f[u][0]+a[u],f[u][1]+a[fa_u]) \]

\[g[u][1]=f[u][1]+m \]

• \(a[u]>a[fa_u]\) ，有：

\[g[u][0]=f[u][0]+a[fa_u] \]

\[g[u][1]=\max(f[u][0]+a[u],f[u][1]+m) \]

时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。

T6 Pekka Bridge Spam

神仙题。老年选手阿巴阿巴阿巴，题解懒得写了。

官方题解

LGR067 洛谷 1 月月赛 II

\(T1,T2,T3,T4\) 较简单。

T5 仙人掌

Erdős–Gallai 定理
对于非递增度数序列 \(\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}\) ，该序列可简单图化当且仅当

\[1\le k\le n,\sum\limits_{i=1}^{k}d_i\le k(k-1)+\sum\limits_{i=k+1}^{n}\min(k,d_i) \]

可感性理解。考虑前 \(k\) 个点连边度数上界，\(k(k-1)\) 为 \(k\) 个点内部连边上界，后面是前 \(k\) 个点与 \(n-k\) 个点连边的上界。

设度数序列为 \(d\) ，点集大小为 \(n\) ，边集大小为 \(m\) 。

显然有 \(\sum\limits_{i=1}^{n}d_i=2m,d_i\ge 1\) 。

先考虑树的情况，不难得出充要条件：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}d_i=2(n-1) \]

考虑归纳证明，对于 \(n=2\) 显然成立；对于 \(n>2\) ，必存在 \(d_j=1,d_k\ge 2\) ，将 \(j\) 与 \(k\) 连边，转化为 \(n-1\) 个点的求解问题。

考虑边仙人掌的情况，任取一个生成树，每条非树边对应一个环。

显然环数 \(c\) 满足：\(0\le c\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor\) 。

若度数均为偶数，有两种情况：

• 度数均为 \(2\) ，此时构造一个大环即可；

• 其他，此时必有 \(d_u=d_v=2,d_w\ge 4\) ，构造方式可类比树的归纳法。

若度数不全为偶数，则 \(c\) 的上界过松，应确定更强的约束条件。

设割边个数为 \(b\) ，奇度数个数为 \(o\) ，叶子个数为 \(l\) ，显然有 \(b\ge \max(\frac{o}{2},l)\) ，故

\[c\le \lfloor \frac{n-1-b}{2}\rfloor\le \lfloor \frac{n-1-\max(\frac{o}{2},l)}{2}\rfloor \]

特殊处理一下 \(n=2\) ，因为它会出现两叶子相连的情况。

可以证明满足上述 \(c\) 的限制即可构造出仙人掌，具体构造方式

关于计数，枚举 \(o\) 和 \(l\) ，满足：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}d_i=2m \]

并且有 \(o-l\) 个奇度数且 \(\ge 3\) 的点，\(l\) 个叶子，\(n-o\) 个偶度数点，则方案为：

\[\binom{n}{o}\binom{o}{l}[x^{2m}](\frac{x^3}{1-x^2})^{o-l}x^l(\frac{x^2}{1-x^2})^{n-o} \]

\[=\binom{n}{o}\binom{o}{l}[x^{2m-l}]\frac{x^{2n+o-3l}}{(1-x^2)^{n-l}} \]

令 \(t=\frac{2m-o+2l-2n}{2}\) ，

\[=\binom{n}{o}\binom{o}{l}\binom{n+t-l-1}{t} \]

预处理组合数，即可做到 \(O(n^2)\) 。

LGR066 洛谷 1 月月赛 I

\(T1,T2,T3,T4\) 较简单。

T5 小欧与回文串构造

构造串 \(\text{001011 001011 ...}\) 可以发现当 \(|S|\ge 9\) 时串只有 \(8\) 种本质不同回文串。

又 \(\text{00...0}\) 有 \(len\) 种本质不同回文串，两者结合一下即可拼出 \(m\le n\) 。

对于 \(m<8\) 且 \(m<n\) 的，除 \(n=8,m=7\) 外均无解。

T6 Fracture Ray

对于给定的 \(x\) ，将 \(>V\) 的所有数缩成一个根节点，则修改操作即 \(x\) 到根路径 \(+v\) ，查询操作即 \(x\) 到根路径权值和。

不难发现路径的并只有 \(5e7\) 量级，因此暴力跳 \(x\) 复杂度正确，可手写 \(bitset\) 压常数。

考虑建其虚树，点数不超过 \(4n\) ，记录 \(val[i]\) 表示点 \(i\) 与它虚树上的父亲的距离，修改和查询操作均可通过树剖+线段树解决。

时间复杂度 \(O(Cn+nlog^2n)\) ，\(C\) 约为 \(250\) ，空间大概 \(128MB\) 。