概率期望总结

前言

概率期望这一块吧，你别说，我这一遍还真是学会了点东西。

前置知识

• 随机时间，样本空间
• 一些基础定义

正文

概率

一些性质

• 非负性
  对于任意事件 A，都有 \(P(A)\ge0\)
• 对于一个样本空间 \(S\),有 \(\sum_{A\in S} P(A)=1\)

古典概型

正好课内学的时候没在，在这补一下。

定义

1. 样本空间 \(S\) 只包含有限个元素
2. 试验中每个基本事件发生的概率相同
   也就是说，我们设样本空间 \(S=\{e_1,e_2,e_3 ··· e_n\}\)，则有 \(P(e_1)=P(e_2)=···=P(e_n)\)。

概率计算公式

我们设样本空间 \(S\) 中含有 \(n\) 个基本事件，事件 \(A\) 中包含 \(k\) 个基本事件,那么 \(P(A)=\frac{k}{n}\)。

典型例题

例1 袋中有 \(a\) 个白球，\(b\) 个红球，\(k\) 个人在袋中取球。
(1) 做放回抽样时，求每个人取到白球的概率。
(2) 做不放回抽样时，求每个人取到白球的概率。
一个有一点点反直觉的答案——两道题答案竟然是一样的。
证明：不想给了，反正就是把情况列出来，然后就出来了。

条件概率

首先，我们定义 \(P(A|B)\) 表示在 \(B\) 发生的前提下，\(A\) 发生的概率。
那么，给出公式 $$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$
如何理解这个公式呢，其实就是当在事件 \(B\) 发生的前提下发生事件 \(A\) 时，结果和事件 \(AB\) 同时发生是一样的，但是因为我们是在事件 \(B\) 发生的前提下，所以你就不需要计算事件 \(B\) 发生的概率了。

乘法定理

设 \(P(A)>0\) 则有 $$P(AB)=P(A|B)P(B)$$
推广到多个的是容易想到的，这里就不多说了。

期望

直接给个定义式吧 $$E(X) = \sum {x \cdot p_x}$$

题目

绑鞋带

题目传送门
数学题，对于第 \(i\) 次绑鞋带，会有 \(2\times n-2\times i+1\) 个鞋带可以选择，然后每次只要不选和自己在同一条链上的那个都可以，所以是有 \(2\times n-2\times i\) 个，然后把 \(n\) 次的都累乘起来就可以了。
至于为什么第一次是随便选一个鞋带，而不是把第一次选择 \(n\) 种鞋带的可能性都加起来，其实是因为你不论第一次选择的是那个，最后组成环的情况其实是一样的。

[uva557]汉堡

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数学题+1，这题问的是对于前n-2个汉堡，无法平分的概率是多少，我们可以转化为前n-2个汉堡，可以平分的概率有多大，然后拿1减一下。
但是如果说你每次都硬算的话，其实会T，所以我们直接递推就可以了。

神盾局特工

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状压，\(dp_i\) 表示前 \(i\) 个人，完成任务的状态为 \(j\) 的概率，然后取\(\max\)
秒啦秒啦，下一道。

超级购物

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状压，直接对于每个状态硬算概率，然后对一共有r个人买东西的概率和每个人分别的概率求个和，最后两个一除。
概率的题很多，刷是刷不完的，我们认为，你已经大致掌握了概率题目的做题方法，接下来就开始真正困难的期望吧

绿豆蛙的归宿

题目传送门
【法1】 对于一个点，假设其出边个数为 \(k\)，从其他点转移而来的期望步数为 \(sum\)，那么，容易得到方程

\[dp_i=\frac{1}{k}(dp_i+1)+sum \]

把方程解出来，就可以得到一个dp转移式子

\[dp_i=\frac{k\times sum+1}{k-1} \]

接下来就照着这个式子从开始到结束这么做一做就好了。
但是，如果你真的就是这样写的话，你会发现，过不去样例。
这是为什么呢？
我们对于样例深入分析，可以得出一个结论，如果想要让最终的路径经过当前边(\(i\to j\))，概率其实是 \(f_i\times k\)。
但是，重新看回我们之前的式子，可以发现，我们只乘了这一步的概率，所以其实是需要同时维护一个 \(f_i\) 来保证概率方面是正确的，这样才真正的正确了。
【法2】 我们考虑倒着往前做，前面的心路历程和【法1】是一样的，但是，我们仔细思考一下，发现这样子倒着往前做其实会让加边顺序变为倒序，那么，刚才是在后面的边会少算概率，这回，我们把它放在前面加进去，就可以让它直接就乘上了前面的概率，所以直接转移即可。
至于同样的方法能不能应用到正序上，我们一起期待dzx同学的实现把。