组合数学(转)

错排：

设 \((a_1,a_2,...,a_n)\) 是 \(\{1,2,...,n\}\) 的全排列，若对任意的 \(i\in\{1,2,..,n\}\)都有 \(a_i\ne i\)，则称 \((a_i,a_2,...,a_n)\) 是 \(\{1,2,...,n\}\) 的错位排列。
用 \(D_n\) 表示 \(\{1,2,...,n\}\) 的错位排列的个数，有：\(D_n=n!*(1-\frac1 1!+\frac1 2!-\frac1 3!+...+\frac{(-1)^n}n!)\)

圆排列：

从 n 个不同元素中选取 r 个元素，不分首尾地围成一个圆圈的排列叫做圆排列，其排列方案数为：\(\frac{A(n,r)}{r}\)

当 r=n 时，则为圆排列的全排列，其排列方案数为：\(\frac{n!}{n}=(n-1)!\)

第二类斯特林数：

\(S(n,m)\) 表示有 \(n\) 个有区别小球，要放进 \(m\) 个相同盒子里，且每个盒子非空的方案数
考虑一个很容易的递推：

\[S(n,m)=S(n−1,m−1)+m∗S(n−1,m) \]

考虑组合意义：
假设前面的 \(n−1\) 个球丢进了 \(m−1\) 个组，因为每个组非空，所以这个球只有一种选择，自己一组
如果前面的球已经分成了 \(m\) 组，那么，这个球就有 \(m\) 种放法
通项公式：
\(S(n,m)=\frac 1{m!}\sum_{k=0}^m(−1)^kC(m,k)(m−k)^n\)

假设盒子有区别，并且我们允许空盒的存在
显然的，\(m^n\) 就是答案
但是不允许空盒存在 所以容斥一下
枚举当前有几个空盒子存在
把这几个盒子选出来，也就是 \(C(m,k)\)
然后剩下 \(m−k\) 个盒子，\(n\) 个球可以随便放，也就是 \((m−k)n\)
最后退出来，我们盒子是没有区别的，所以除以一个 \(m!\)

那么，怎么算
考虑一下组合意义，把 \(n\) 个有区别的小球分给有区别的 \(m\) 个盒子里，允许空盒的方案数
第二类斯特林数是什么？
\(S(n,m)\) 表示 \(n\) 个球丢进 \(m\) 个相同盒子里，不允许空盒
那枚举一下有 \(i\) 个盒子不是空的
再把球丢进盒子就是 \(S(n,i)∗i\)

\[m^n=\sum_{i=0}^mS(n,i)∗i!∗C(m,i) \]

如果要算第二类斯特林数，除了 \(n^2\) 的递推有没有别的方法呢？
显然是有的
重新看看上面用容斥和组合意义得到的式子

\[S(n,m)=\frac1{m!}\sum_{k=0}^m(−1)^kC(m,k)(m−k)^n \]

整理一下

\[\begin{aligned} S(n,m)=\frac1{m!}\sum_{k=0}^m(−1)^k\frac{m!}{k!(m−k)!}(m−k)^n\\ S(n,m)=\frac1{m!}\sum_{k=0}^mm!\frac{(−1)^k}{k!}\frac{(m−k)^n}{(m−k)!}\\ S(n,m)=\sum_{k=0}^m\frac{(−1)^k}{k!}\frac{(m−k)^n}{(m−k)!} \end{aligned}\]

可以用多项式卷积求出 \(S(n,X)\)
复杂度 \(O(nlogn)\)

放球问题：

n个球是否有区别	m个盒是否有区别	是否允许空盒	n是否大于m	方案数	简要解释
是	是	是	是	$$m^n$$	每个球有m种可能
是	是	是	否	$$m^n$$	每个球有m种可能
是	是	否	是	$$m!S(n,m)$$	类比盒无区别时，再乘以盒的可能排列
是	是	否	否	$$0$$	盒比球多，必有空盒
是	否	是	是	$$S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,m)$$	枚举有球盒的数量，再利用斯特林数
是	否	是	否	$$S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,n)$$	枚举有球盒的数量，再利用斯特林数
是	否	否	是	$$S(n,m)$$	根据斯特林数定义
是	否	否	否	$$0$$	盒比球多，必有空盒
否	是	是	是	$$C_{m+n-1}^n$$	插板法或根据可重组合计算公式
否	是	是	否	$$C_{m+n-1}^n$$	插板法或根据可重组合计算公式
否	是	否	是	$$C_{n-1}^{m-1}$$	先给每盒放一球，然后利用n-m个球，m个盒子有空盒的解
否	是	否	否	$$0$$	盒比球多，必有空盒
否	否	是	是	$$G(x)=\frac{1}{(1-x)(1-x2)...(1-xm)}中x^n的系数$$	母函数方法
否	否	是	否	$$G(x)=\frac{1}{(1-x)(1-x2)...(1-xn)}中x^n的系数$$	母函数方法
否	否	否	是	$$G(x)=\frac{1}{(1-x)(1-x2)...(1-xm)}中x^{n-m}的系数$$	母函数方法
否	否	否	否	$$0$$	盒比球多，必有空盒