乘法逆元

乘法逆元模板题

六行（强行压行）AC代码

#include<bits/stdc++.h>
long long n, p, inv[3000010]; 
int main( void ){
	std::scanf( "%lld%lld", &n, &p ); inv[1] = 1; std::printf( "%lld\n", inv[1] );
	for( int i = 2; i <= n; i++ ) std::printf( "%lld\n", inv[i] = ( ( p - p / i ) * inv[p % i] ) % p );
}

乘法逆元是啥？

“逆”可以理解为是抵消之前的运算效果

$ e. g. $

$ a = a + b - b$ 那么 \(+ b\) 就叫做 \(- b\) 的逆

同理 $ a = a * b * \frac{1}{b} $ 那么 \(\frac{1}{b}\) 就叫做 \(* b\) 的逆

很好理解吧

那么现在请思考，我们知道$ ( a * b )$ \(mod\) \(p = ( a\) \(mod\) \(p ) * ( b\) \(mod\) \(p )\)，那么 $ \frac{a}{b} $ mod $ p $ 是否等于 \(( a\) \(mod\) $ p ) * ( b$ \(mod\) \(p )\)呢

显然不等于

怎么办呢？我们只能找一个\(x\)，使得\(\frac{a}{b}\) \(mod\) $ p = a * x $ mod $ p$

此时$ x$ 叫做 \(b\)的乘法逆元， 表示为$b * x\equiv 1 $( \(mod\) \(p\) )，叫做\(b * x\) 与 1 关于 $ p $ 同余， \(\equiv\)的意思是\(b * x\) \(mod\) $ p = 1$ \(mod\) \(p\)， 也可以写成 $ ( b * x - 1 ) / p = 0 $

为啥是$ b * x \equiv 1$ 而不是$ a * x \equiv 1 $？？？

既然\(b * x\) 和 1 同余了， 那么求余时这俩就是等价的了，所以$ a / b * 1$ \(mod\) $ p = a / b * b * x$ \(mod\) $ p = a * x$ \(mod\) \(p\)

注意：存在的充要条件是 \(a ,p\)互质

咋求乘法逆元？

求单个数的乘法逆元， 可以用拓展欧几里得（不知道的戳这里）

$a * x \equiv 1 ( mod $ \(p)\) 可写成 $ a * x - p * y = 1$

此时，这一不定方程就可以用拓展欧几里得解了

另外，当模数是质数时可以用费马小定理加速，

因为$ a ^ {p- 1} \equiv 1 (mod$ \(p)\)，很明显可以写成

\(a * a ^ {p - 2} \equiv 1 (mod\) \(p)\)，那么逆元就求出来了，可以用快速幂加速

但是太麻烦了，乘法逆元可以线性预处理

$ inv[i] = ( p - \frac{q}{i} ) * inv[p $ \(mod\) $i] $ \(mod\) \(p\)

试着证明

\(i * inv[i]\) \(mod\) \(p\)

$= i * (p - \frac{p}{i}) * inv[p $ \(mod\) \(i]\) $ mod $

$= i * (p - \frac{p-p MOD i}{i}) * inv[p $ \(mod\) \(i]\) $ mod $

//因为分子打不了\(mod\),所以用MOD表示了

$=( p $ \(mod\) $i )* inv[p $ \(mod\) \(i]\) $ mod $ \(p\)

\(= 1\)

适用范围

\(i < p, p\)为质数（只有p为质数时才能保证小于p的数全部与p互质）

对于$ i > p $ 且 $ i $ 不整除 \(p\) 时

$inv[i] = inv[i $ \(mod\) \(p]\)

实现代码如下

inv[1] = 1;
for ( int i = 2; i <= n; i++ ) {
    inv[i] = ( p - p / i ) * inv[p % i] % p;
}

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return; // 功德圆满