「NOIP2009」最优贸易 题解 (最短路SPFA)
题目简介
分析
这道题有多种方法可以实现，我选用的是相对简单的两遍\(SPFA\)
看到网上的题解大多都是两个邻接表数组，两个存边函数，两个计算函数，我有些沾沾自喜。
将图封装在结构体中，就是香呀~
使用图 \(a\) 存从 \(1\) 到 \(i\) 的最小进口价格，图 \(b\) 存从 \(i\) 到 \(n\) 的最大出口价格，再遍历一遍 i ，最终答案就是
\[max\{b.D(i)-a.D(i)\}
\]
带你设计结构体 \(Edge\)
struct Edge{
....
}a,b;
结构体 \(Edge\)
1.链式前向星(邻接表)存边
struct edge_node{
int nxt,to;
}e[Maxn];
int head[maxn];
int tot;
inline void add(int u,int v){
e[++tot].nxt=head[u];
e[tot].to=v;
head[u]=tot;
}
int x,y,z;
for(int i=1;i<=m;i++){
x=read();y=read();z=read();
a.add(x,y),
b.add(y,x);
if(!(z&1))
a.add(y,x),
b.add(x,y);
}
2.\(SPFA\)
这里开始值得注意了。
在 main() 函数中，我们的调用方法是：
a.spfa(1,1);
b.spfa(n,0);
所以此函数的定义方法是：
void spfa(int s,bool cmp)
\(cmp\) 表示的是求解 \(D\) 的方法，\(false\)表示求最小值，\(true\)表示求最大值。
自然地，\(s\) 表示的是起点位置。
\(SPFA\) 的转移条件本来是：
\[D[y]=max/min\{D[x]+dis[y]\}
\]
这里应题目需要改成：
\[D[y]=max/min\{max/min\{D[x],price[y]\}\}
\]
inline void spfa(int s,bool cmp){
if(cmp)memset(d,0x3f,sizeof(d));
queue<int>q;
d[s]=price[s];
v[s]=true;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
v[x]=false;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
int z;
if(cmp)z=mymin(d[x],price[y]);
else z=mymax(d[x],price[y]);
if((d[y]>z&&cmp)||(d[y]<z&&(!cmp))){
d[y]=z;
if(!v[y])
q.push(y),
v[y]=true;
}
}
}
}
\(AC\) 代码
如果你久久过不了本题，请看完整代码吧：
裸\(SPFA\):
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int Maxn=maxn<<1;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
inline int mymax(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int mymin(int a,int b){return a<b?a:b;}
int price[maxn];
struct Edge{
struct edge_node{
int nxt,to;
}e[Maxn];
int head[maxn];
int tot;
inline void add(int u,int v){
e[++tot].nxt=head[u];
e[tot].to=v;
head[u]=tot;
}
int d[maxn];
bool v[maxn];
inline void spfa(int s,bool cmp){
if(cmp)memset(d,0x3f,sizeof(d));
queue<int>q;
d[s]=price[s];
v[s]=true;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
v[x]=false;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
int z;
if(cmp)z=mymin(d[x],price[y]);
else z=mymax(d[x],price[y]);
if((d[y]>z&&cmp)||(d[y]<z&&(!cmp))){
d[y]=z;
if(!v[y])
q.push(y),
v[y]=true;
}
}
}
}
}a,b;
int n,m;
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)price[i]=read();
int x,y,z;
for(int i=1;i<=m;i++){
x=read();y=read();z=read();
a.add(x,y),
b.add(y,x);
if(!(z&1))
a.add(y,x),
b.add(x,y);
}
a.spfa(1,1);
b.spfa(n,0);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=mymax(ans,b.d[i]-a.d[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
由于没有负权环，可以考虑使用更稳定的堆优化，虽然对于本题没有裸 \(SPFA\) 快：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int Maxn=maxn<<1;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
inline int mymax(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int mymin(int a,int b){return a<b?a:b;}
int price[maxn];
struct Edge{
struct edge_node{
int nxt,to;
}e[Maxn];
int head[maxn];
int tot;
inline void add(int u,int v){
e[++tot].nxt=head[u];
e[tot].to=v;
head[u]=tot;
}
int d[maxn];
bool v[maxn];
inline void spfa(int s,bool cmp){
if(cmp)memset(d,0x3f,sizeof(d));
priority_queue<pair<int,int> >q;
d[s]=price[s];
v[s]=true;
q.push(make_pair(-d[s],s));
while(!q.empty()){
int x=q.top().second;
q.pop();
v[x]=false;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
int z;
if(cmp)z=mymin(d[x],price[y]);
else z=mymax(d[x],price[y]);
if((d[y]>z&&cmp)||(d[y]<z&&(!cmp))){
d[y]=z;
if(!v[y])
q.push(make_pair(-d[y],y)),
v[y]=true;
}
}
}
}
}a,b;
int n,m;
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)price[i]=read();
int x,y,z;
for(int i=1;i<=m;i++){
x=read();y=read();z=read();
a.add(x,y),
b.add(y,x);
if(!(z&1))
a.add(y,x),
b.add(x,y);
}
a.spfa(1,1);
b.spfa(n,0);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=mymax(ans,b.d[i]-a.d[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
本题较为良心，不卡 \(SPFA\) ，出于谨慎，可以加一个 \(SLF\) 优化：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int Maxn=maxn<<1;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
inline int mymax(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int mymin(int a,int b){return a<b?a:b;}
int price[maxn];
struct Edge{
struct edge_node{
int nxt,to;
}e[Maxn];
int head[maxn];
int tot;
inline void add(int u,int v){
e[++tot].nxt=head[u];
e[tot].to=v;
head[u]=tot;
}
int d[maxn];
bool v[maxn];
inline void spfa_slf(int s,bool cmp){
if(cmp)memset(d,0x3f,sizeof(d));
deque<int>q;
d[s]=price[s];
v[s]=true;
q.push_back(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop_front();
v[x]=false;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
int z;
if(cmp)z=mymin(d[x],price[y]);
else z=mymax(d[x],price[y]);
if((d[y]>z&&cmp)||(d[y]<z&&(!cmp))){
d[y]=z;
if(!v[y]){
v[y]=true;
if(q.empty()||d[y]>d[q.front()])
q.push_back(y);
else q.push_front(y);
}
}
}
}
}
}a,b;
int n,m;
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)price[i]=read();
int x,y,z;
for(int i=1;i<=m;i++){
x=read();y=read();z=read();
a.add(x,y),
b.add(y,x);
if(!(z&1))
a.add(y,x),
b.add(x,y);
}
a.spfa_slf(1,1);
b.spfa_slf(n,0);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=mymax(ans,b.d[i]-a.d[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号