「BZOJ3594」方伯伯的玉米田 题解 (数据结构优化DP)

题目简介

题目描述

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。 这排玉米一共有 \(N\) 株，它们的高度参差不齐。 方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。 方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高 \(1\) 单位高度，他可以进行最多 \(K\) 次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。 问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

输入

第 \(1\) 行包含 \(2\) 个整数 \(n\)，\(K\)，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。 第 \(2\) 行包含 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个数表示这排玉米，从左到右第 \(i\) 株玉米的高度 \(a_i\)。

输出

输出1个整数，最多剩下的玉米数。

样例输入

3 1
2 1 3

样例输出

3

提示

\(1<N<10000，1<K≤500，1\leq a_i\leq 5000\)

分析

题目中有两个要素，一是被拔高的位置，二是被拔高的次数。
由此，考虑设定二元DP数组\(f_{i,j}\)来表示前 \(i\) 个位置,被拔高了 \(j\) 次时的最长不下降子序列长度。

可以得到状态转移方程：

\[f_{i,j}=max\{f_{x,y}\} +1 (x\leq i,a_x+y\leq a_i+j) \]

由于数据量巨大，使用二维树状数组\(c\)来表示\(f\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn=10010;
int n,k;
int m;
int a[maxn];
int c[maxn][510];
inline int mymax(int fir,int sec){return fir>sec?fir:sec;}
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void modifit(int x,int y,int dis){
	for(int i=x;i<=m+k;i+=lowbit(i))
		for(int j=y;j<=k+1;j+=lowbit(j))
			c[i][j]=mymax(c[i][j],dis);
}
inline int query(int x,int y){
	int res=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
			res=mymax(res,c[i][j]);
	return res;
}
int ans;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),m=mymax(m,a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=k;j>=0;j--){
			int res=query(a[i]+j,j+1)+1;
			ans=mymax(ans,res);
			modifit(a[i]+j,j+1,res);
		}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

$$-----END-----$$