「BZOJ1045」「HAOI2008」糖果传递 题解 (贪心，数学)

题目简介

题目描述

有\(n\)个小朋友坐成一圈，每人有\(a_i\)个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为\(1\)。

输入

第一行一个正整数\(n\leq 10^6\)，表示小朋友的个数．接下来\(n\)行，每行一个整数\(a_i\)，表示第\(i\)个小朋友得到的糖果的颗数。

输出

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

传送门
可以先做一下「NOIP2002 提高组」均分纸牌——题解(遇上一个强迫症人——怎么均分纸牌)

数学分析

我们统一以向左为正方向。

假设第\(i\)个小朋友会左传\(|b_i|\)个糖果（不论 \(b_i\) 的正负性），
那么第\(i(i<n)\)个小朋友会收到来自右边的\(|b_{i+1}|\)个糖果，而第n个小朋友会收到来自右边的\(|b_1|\)个糖果。

设\(a_{1\sim n}\)的平均数(average)为 \(ave\)
即

\[ave=\left\{ \begin{array}{rcl} {a_i-b_i+b_{i+1}} & (0<i<n) \\ {a_i-b_i+b_1} & (i=n) \end{array}\right.\]

\[ave=a_1-b_1+b_2=a_2-b_2+b_3=a_3-b_3+b_4=……=a_n-b_n+b_1 \]

稍微变个形：

\[b_2=ave+b_1-a_1 \]

\[b_3=ave+b_2-a_2=ave+(ave+b_1-a_1)-a_2=2\times ave+b_1-(a_1+a_2) \]

同理得：

\[b_4=ave+b_3-a_3=3\times ave+b_1-(a_1+a_2+a_3) \]

\[…… \]

\[b_k=(k-1)\cdot ave+b_1-\sum_{i=1}^{k-1}a_i \]

\[b_n=(n-1)\cdot ave+b_1-\sum_{i=1}^{n-1}a_i \]

那么\(b_1\)呢？

\[b_1=n\cdot ave+b_1-\sum_{i=1}^{n}{a_i} \]

这时我们假设一个\(c\)数组：

\[c_1=a_1-ave\Rightarrow b_2=b_1-(a_1-ave)=b_1-c_1 \]

\[c_2=a_1+a_2-2\times ave\Rightarrow b_3=b_1-c_2 \]

\[c_3=a_1+a_2+a_3-3\times ave\Rightarrow b_4=b_1-c_3 \]

\[…… \]

\[c_k=\sum_{i=1}^{k}{a_i}-k\cdot ave\Rightarrow b_{k+1}=b_1-c_k \]

\[c_n=\sum_{i=1}^{n}{a_i}-n\cdot ave\Rightarrow b_{n+1}=b_1-c_n \]

本题要求付出的代价最小。
即要求$$\sum_{i=1}^{n}{|b_i|}$$最小。

又

\[\sum_{i=1}^{n}{|b_i|}=\sum_{i=1}^{n}{|b_1-c_i|} \]

因为\(c_i\)很好求出，所以此时我们只需要找到一个合适的\(b_1\)使\(b_1\)到\(c_i\)距离和最小。
或许你已经想到了。

没错——中位数

看看简短的代码吧

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000010;
int n;
ll a[maxn];
ll c[maxn];
ll myabs(ll x){return x<0?-x:x;}
int main(){
	cin>>n;
	ll ave=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		ave+=a[i];
	}
	ave/=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		c[i]=c[i-1]+a[i]-ave;
	sort(c+1,c+n+1);
	ll k=c[(n+1)>>1];
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=myabs(k-c[i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}

$$-----END-----$$