李超线段树学习笔记

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李超线段树的定义

对于李超线段树的定义，JHSeng大佬的定义简洁精炼：

李超线段树是一种用于维护平面直角坐标系内线段关系的数据结构。

而洛谷P4097Segment就是李超线段树维护的板子题了。

题目大意（偷个懒）：

要求在平面直角坐标系下维护两个操作：

1. 在平面上加入一条线段。记第 $i$ 条被插入的线段的标号为 $i$。

2. 给定一个数 $k$，询问与直线 $x = k$ 相交的线段中，交点纵坐标最大的线段的编号。

具体维护操作

我们主要维护区间内最优线段。

我们假设平面内已有一条线段：

这时显然，其为所有区间内的最优线段，接下来我们再插入一条线段。

明显可以看出，插入新的线段后，两条线段的交点左区间最优线段为新线段，而交点右边区间最优线段则为原来的线段。扫一遍肯定来不及，所以我们二分递归求出所有区间的最优线段。

首先先取当前处理区间的 \(mid\)，如果新线段在 \(x=mid\) 时纵坐标更大，则先将当前区间的最优线段更替为新线段，从这里可以看出，每一个区间长度大于一的区间存的线段，只满足取区间内大部分横坐标其为最优解。

if(f[i](mid)-f[id](mid)>eps) swap(i,id);

红色线段为最优线段。

但是实际上交点右边的区间最优线段不是它，所以我们要两条线段再次进行比较，比较区间的左右两端点（即是判断区间内两条线段是否有交点，有交点说明要重新更新）。

如果被淘汰的线段在左右端点的比较中胜出，则将它继续递归，更新。

if(f[i](l)-f[id](l)>eps||(f[i](l)==f[id](l)&&i<id)) update(lson,ql,qr,i);
if(f[i](r)-f[id](r)>eps||(f[i](r)==f[id](r)&&i<id)) update(rson,ql,qr,i);

最后得出所有区间的最优线段。

询问的时候单点询问，递归取 max 即可。

一个蒟蒻入坑过的小问题

蒟蒻在第一次写李超线段树的时候，非常不明白询问的时候为什么要取 max。单点询问直接取当前点的最优线段不久行了，在经过思考后，发现：

1. 李超线段树没有或者说不需要 push_down 操作，所以可能当前点并没有值。

2. 李超线段树大区间和小区间内存的都不一定是最优线段，大区间刚刚讲过了，只是满足大部分，而小区间由于没有 push_down 也可能出现存的不是最优解，例如如图所示的情况。

当前询问 \(x\) 点的最高纵坐标，假如第二条直线时，一二条直线右边区间的最优线段变为了图中粉色区间，而再加入第三条线段时，更新最优线段后，由于被淘汰的线段在中间和右边都比不过新线段，所以图示粉色区间并没有被递归更新，造成了小区间非最优解的情况。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson ls,l,mid
#define rson rs,mid+1,r
#define mp make_pair
#define db double
using namespace std;
const int N=4e5+10,M=39990,Inf=1e9+7;
const double eps=1e-10;

inline int read(){
	char ch=getchar();int res=0,f=1;
	while(ch<'0'||'9'<ch){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while('0'<=ch&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
	return res*f;
}

struct line{
	db k,b;int xmi,xma;
	db operator()(int x){//重载括号 
		if(xmi<=x&&x<=xma) return k*x+b;
		else return -N;
	}
}f[N];

struct TREE{
	int id[N<<2];
	pair<db,int> _max(pair<db,int> a,pair<db,int> b){
		if(a.first-b.first>eps) return a;
		else if(b.first-a.first>eps) return b;
		else return a.second>b.second?a:b;
	}
	void update(int rt,int l,int r,int ql,int qr,int i){
		if(ql<=l&&r<=qr){
			//没有直接更新 
			if(!id[rt]) return id[rt]=i,void();
			int mid=(l+r)>>1;
			if(f[i](mid)-f[id[rt]](mid)>eps) swap(i,id[rt]);
			//等于时让编号小的去更新 
			if(f[i](l)-f[id[rt]](l)>eps||(f[i](l)==f[id[rt]](l)&&i<id[rt])) update(lson,ql,qr,i);
			if(f[i](r)-f[id[rt]](r)>eps||(f[i](r)==f[id[rt]](r)&&i<id[rt])) update(rson,ql,qr,i);
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(ql<=mid) update(lson,ql,qr,i);
		if(mid<qr) update(rson,ql,qr,i);
	}
	pair<db,int> query(int rt,int l,int r,int k){
		pair<double,int> res,a,b;
		if(id[rt]) res=mp(f[id[rt]](k),-id[rt]);
		if(l==r) return res;
		int mid=(l+r)>>1;
		if(k<=mid) res=_max(query(lson,k),res);
		else res=_max(query(rson,k),res);
		return res;
	}
}root;

int n,lst,cnt;

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1,op,k,x0,x1,y0,y1;i<=n;i++)
	{
		op=read();
		if(op==0){
			k=read();k=(k+lst-1)%39989+1;
			printf("%d\n",lst=-root.query(1,1,M,k).second);
		}
		else{
			x0=read(),y0=read(),x1=read(),y1=read();
			x0=(x0+lst-1)%39989+1;x1=(x1+lst-1)%39989+1;
			y0=(y0+lst-1)%1000000000+1;y1=(y1+lst-1)%1000000000+1;
			cnt++;
			if(x0==x1){
				f[cnt].k=0;
				f[cnt].b=max(y1,y0);
				f[cnt].xmi=f[cnt].xma=x0;
			}
			else{
				f[cnt].k=1.0*(1.0*y1-y0)/(1.0*x1-x0);
				f[cnt].b=1.0*(1.0*y1-f[cnt].k*x1);
				f[cnt].xmi=min(x0,x1);
				f[cnt].xma=max(x0,x1);
			}
			root.update(1,1,M,min(x0,x1),max(x0,x1),cnt);
		}
	}
	return 0;
}
/*
3
1 8 7 3 9
1 10 9 4 3
0 8
*/
/*
1
*/

P4097Segment
P4254Blue Mary开公司
P4655Building Bridges