最近有个图像拼接的课程作业，上面要用到柱面投影，因此将柱面投影的映射函数作下学习记录。
先从这个示意图开始分析，所谓柱面投影，是以一个一定半径和高的圆柱内部中心作为投影中心，将源图像平摊在圆柱侧表面，就像上面图b（俯视图）所见一样，图像的每一个点与投影中心进行连线，线与圆柱测表面的交点便为该点的柱面投影点，因此关键是找出点与其对应投影点的位置关系。
上图a中已经画出了坐标系，对于图像我们只需看xy轴即可，坐标系为图像的中心，投影后的图像也是一样。首先先分析原图像和投影后图像的宽高关系，从图可以看出，投影后图像的四个角会向内”弯折“，而其最大的高度仍然是原图像的高（垂直中轴线上的点投影后位置不变），因此投影后图像的高为原图像高。而对于宽度，我们从图b分析，上面的三角形的底长便是原图像宽，而投影后宽度则为三角形腰与内部圆弧交点的距离，如下图：
红色线段便是投影后的宽，三角形的腰为投影半径（圆柱半径），三角形顶角为投影角度。设投影角度为θ，半径为r，则可得出投影宽为2rsin(θ/2)。
这里一般是设定投影角已知，根据投影角来计算半径，即r=w/(2tan(θ/2))，w为原图像宽。
接下来计算位置间的函数关系，设原图像某点坐标为(x,y)，这里要注意图像是以左上角为坐标原点，因此要转换到以中心为原点的坐标系，所以坐标为(x-w/2,y-h/2)，w、h为原图像的宽高，设该点投影后坐标为(x',y')，则转换坐标系为(x'-w'/2,y-h'/2)。前面已经得出w'=2rsin(θ/2)，h'=h。先看x坐标的关系，从俯视图图b分析，上面的p点为原图像点在x轴的位置，对应的投影点为其与投影中心O的连线与圆弧的交点，因此可以得出x'-w'/2=arctan((x-w/2)/r)*r。解出x'即可。
对于y'的计算，我们看图c这是圆柱的一个剖面图，看下面的一个注解：
如上图说明的原图像点与投影点的位置，P和P‘分别对应原图和投影后图的水平中心轴上的点，也就是说得出里外三角形高的相似关系，就能求出y'，从上图看出OP'距离为半径r，OP就是图b的OP长，设其为k，则k=sqrt((x-w/2)²+r²)。根据三角形相似性：(y-h/2)/(y'-h'/2)=k/r。可解出y'。
最后，解得x'，y'的公式如下：
得出了投影后图像的宽高以及投影点的坐标关系式，我们便可以用插值的方法生成柱面投影图像了。
